2.1 直线的倾斜角与斜率(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

2.1 直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 1、定义：当直线与相交时，我们把轴称为基准， 轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。 2、倾斜角的范围：。 当时，表示直线与x轴平行或与x轴重合. 【注意】1、定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角. 2、从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应. 4、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置， 但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置. 二、直线的斜率 1、定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，； （2）直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知： 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系， 在和内分别与倾斜角变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然． 因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 4、斜率公式 已知点、，且与轴不垂直， 过两点、的直线的斜率公式. 三、直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为. 若，则与的倾斜角与相等。由，可得，即. 因此，若，则.反之，若，则. 【注意】1、公式成立的前提条件是： ①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 四、直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为.若，则. 【注意】1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 题型一 直线的倾斜角 【例1】若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】D 【解析】如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. 【变式1-1】经过第二、四象限，则直线的倾斜角的范围是( ) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 【答案】C 【解析】由题意，可得直线经过第二、四象限， 所以直线的倾斜角的范围是，故选C. 【变式1-2】设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为（ ） A．+45° B．－135° C．135°－ D．当0°≤＜135°时，为+45°，当135°≤＜180°时，为－135° 【答案】D 【解析】倾斜角的范围是[0°，180°）， 因此，只有当+45°∈[0°，180°）， 即当0°≤＜135°时，的倾斜角才是+45°， 而当135°≤＜180°时，的倾斜角为．故应选D． 【变式1-3】已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系可得，故直线的倾斜角为. 题型二 直线的斜率 【例2】有下列命题： ①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； ②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； ③坐标平面上所有的直线都有倾斜角； ④坐标平面上所有的直线都有斜率． 其中错误的是 ( ) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【解析】当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在，故②、④错． 【变式2-1】如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率． 【解析】由图形可知，，则，可求． 直线的斜率． ∵直线的倾斜角， ∴直线的斜率． 【变式2-2】求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）(1,1)、(2,4)； （2）(－3,5)、(0,2)； （3）(4,4)、(4,5)； （4）(10,2)、(－10,2)． 【解析】（1），∴倾斜角是锐角． （2），∴倾斜角是钝角． （3）倾斜角是90°． （4），倾斜角为0°． 【变式2-3】如果过，两点的直线的斜率为1，那么m的值是（ ） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 【答案】A 【解析】由题意，过过，两点的直线的斜率为1， 根据直线的斜率公式，可得，解得.故选：A. 【变式