1.4 充分条件与必要条件-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件 目标导航 1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题． 4.理解充要条件的意义. 5.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明． 知识解读 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p q p q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【答案】⇒ ⇏ 充分 必要 充分 必要 知识点二　充要条件 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件． 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件． 【答案】p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要 跟踪训练 一、单选题 1．“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由“”可以推出“”，由“”得“”，不能推出“”，利用充分条件与必要条件的概念即可求得结果. 【详解】由“”可以推出“”，由“”得“”，不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 2．“”的一个充分条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断选项中的满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立. 【详解】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误； 对于B，当时，，或，充分性不成立，B错误； 对于C，当时，，可得到，C正确； 对于D，当时，，或，充分性不成立，D错误. 故选：C. 3．已知，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由， 显然由推不出，比如推不出， 又推不出，比如推不出， 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 4．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题的性质，结合充分不必要条件的定义进行求解判断即可. 【详解】， 因为命题“，”为真命题， 所以有，显然选项A是充要条件， 由不一定能推出， 由不一定能推出，由一定能推出， 故选：D 5．“”是关于的不等式的解集为R的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性. 【详解】若，取时，不等式，此时不等式解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，且时，不等式， 所以，若关于的不等式的解集为R，则. 综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件. 故选：B 6．已知，，则“使得”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系. 【详解】若使得，则有成立； 若，则有使得成立. 则“使得”是“”的充要条件 故选：C 7．已知，，，，，均为不为零的常数，命题甲：不等式，的解集相同，命题乙：，则甲是乙的（       ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】可通过求解命题甲，得到，，，，，之间的关系，并于命题乙对比即可判断. 【详解】已知，，，，，均为不为零的常数，由不等式，的解集相同，不一定能够推导出各项系数对应成比例，例如两个不等式的解集都为空集，故解集相同跟对应项系数没有直接的关系，而命题乙为：，由此可知，命题甲不一定能推出命题乙，而命题乙在与不同号时，无法推出命题甲，因此甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出四个结论：①；②；③；④“整数与属于同一“类””的充要条件是“”.其中正确结论的个数是(       ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①②③：利用“类”的概念即可求解；对于④：结合“类”的概念，利用充分性和必要性的定义即可判断.