2.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学课后培优分级练（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1.已知为实数，且，则下列命题错误的是 ( ) A．若，则　　　 B．若，则 C．若，则　　　　 　　D．若，则 答案 2. 已知，则当取得最小值时，的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 解析 ，则，当且仅当即时取得最小值．故选：． 3.已知，且，则( ) A. B. C. D. 答案 解析 由，且 ，当且仅当时等号成立 . 4.下列命题正确的是(　　) A．函数的最小值为 B．若且，则 C．函数的最小值为 D．函数的最小值为 答案 解析 错误，当时或时不成立；正确， 因为，所以，且；错误， 若运用基本不等式，需，无实数解；错误， 答案： 5. 若且，则下列不等式恒成立的是 ( ) A．　 　B．　 C． D． 答案 解析 方法一：取特殊值排除法 令，经过检验项都错，对，故选. 方法二： ，，所以错； ，所以错； ，所以错； ，所以对. 二、多选题 6.设，，且，则下列结论正确的是(　　) A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．恒成立 答案 解析 因为，，且， 对于，， 当且仅当时取等号，故选项错误； 对于，， 当且仅当时取等号，故选项正确； 对于，， 当且仅当时取等号，故选项正确； 对于，当时，，但，故选项错误． 故选：． 三、填空题 7.已知，如果，那么的最小值为_____；如果，那么的最大值为_____． 答案 解析 因为，所以， 所以. 故当时，取最小值，此时. 又当时，.所以. 8.已知，则的最小值是 ． 答案 解析 ， (当，即时取到等号). 的最小值是. 9.若正实数，满足，则的最小值为 答案 解析 根据题意，若正实数，，满足， 则， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为. 四、解答题 10.设，求的最小值. 答案 解析 ， 设，则，于是有 当且仅当，即时取等号，此时． 当时，函数取得最小值是． 11.围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，设利用的旧墙的长度为(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元). (1)将表示为的函数：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 答案 (1) . (2) 当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元. 解析 (1)如图，设矩形的另一边长为， 则 由已知，得， 所以.w.w.k.s.5.u.c.o.m (II) .当且仅当时，等号成立. 即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元. 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1.设，下列不等式中等号能成立的有(　　) ①；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案 解析 设，，，所以①成立， ，当时取到，显然②成立， ， 运用基本不等式不能取等号，此时，显然不成立， ，当时成立， 故正确的有三个，故选：． 2.设，则三个数、、　　) ．都大于 至少有一个大于 至少有一个不小于 至少有一个不大于 答案 解析 假设三个数且且， 相加得：， 由基本不等式得：；；； 相加得：，与假设矛盾； 所以假设不成立，三个数、、至少有一个不小于． 故选：． 3.若实数，，满足，以下选项中正确的有(　　) A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 答案 解析 实数，，， 整理得，当且仅当时取，故选项错误； (， 当且仅当时取，故选项错误； ，， ，当且仅当时取， ，故选项错误； ，， ，当且仅当时取，故选项正确， 故选：． 4.若，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案 解析 ，， ， ， 当且仅当即时， 故选：． 5.若，则的最大值为(　　) ． ． ． 答案 解析 令，则，， 原式， 当且仅当即时等号成立， 故选：． 二、多选题 6.下列说法正确的是(　　) 的最小值是 的最小值是 的最小值是 的最大值是 答案 解析 由基本不等式可知，时，，当且仅当即时取等号，故正确； ：，当时取得等号，故正确； ：，令，则， 因为在上单调递增，当时，取得最小值，故错误； ：在时，没有最大值，故错误． 故选：． 三、填空题 7.当时，不等式恒成立，则实数a的最大值为________． 答案 解析 恒成立， 因为，即， 所以， 当且仅当，