第03讲 正方形的性质与判定-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第3讲 正方形的性质与判定 ( 目标导航 ) 课程标准 1.理解正方形的概念，知道它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系； 2.掌握正方形的性质和判定定理； 3.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。 ( 知识精讲 ) 知识点01 正方形的概念 定义：四条边都 ，四个角都是 的四边形叫做正方形。 注意： （1）判定一个四边形是正方形必须同时满足三个条件：①四边形是平行四边形；②有一组领边相等。③有一个角是直角。 （2）正方形既是矩形，又是菱形。 知识点02 正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 1．正方形的性质定理 （1）定理1：正方形的四个角都是 ，四条边都 。 （2）定理2：正方形的对角线 。 归纳：矩形的角、边、对角线的性质 （1）角：四个角都是直角。 （2）边：四边相等、邻边垂直、对边平行。 （3）对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角。 2．正方形的对称性 （1）正方形是轴对称图形，共有 对称轴，其中两条是对角线所在的直线，另两条是过每一组对边中点的直线。 （2）正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的 。 知识点03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系 1．矩形、菱形、正方形之间的关系 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是 的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组领边相等的平行四边形；而正方形既是矩形，又是菱形。 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的区别和联系 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 特性 不一定是轴对称图形 轴对称图形 有2条对称轴，它们分别是过两组对边中点的直线 有2条对称轴，它们分别是两条对角线所在的直线 有4条对称轴，其中2条是过两组对边中点的直线，另外2条是两条对角线所在的直线 或者可表示为： 知识点04 正方形的判定 （1）定理1：有一组 的 是正方形。 （2）定理2： 的 是正方形。 （3）定理3：有 的 是正方形。 （4）定理4： 的 是正方形。 知识点05 中点四边形 1．中点四边形的概念 顺次连接任意四边形 所组成的四边形叫做中点四边形。 2．常见的中点四边形 （1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。 （2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。 （3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。 （4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形。 （5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。 注意：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成 （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形。 （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形。 （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。 ( 能力拓展 ) 考法01 正方形的性质 【典例1】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=CE，则∠CDF的度数为(　　) A．45° B．60° C．67.5° D．77.5° 【即学即练】如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC和CD上的两点，若AB＝1，△AEF为等边三角形，则CE＝（　　） A． B． C． D． 【即学即练】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 考法02 正方形的判定 【典例3】如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形 ； ②存在无数个矩形 ； ③存在无数个菱形 ； ④存在无数个正方形 ．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2