整合提优-专题五 活学活用乘法公式-【通城学典】七年级数学暑期升级训练（浙教版）

22 专题五　活学活用乘法公式 1. (1) ∵ a-b=6,a2+b2=20, ∴ (a-b)2=36.∴ a2-2ab+b2= 36.∴ -2ab=36-(a2+b2)=36- 20=16.∴ ab=-8.(2) ∵ a2+ b2=20,ab= -8,∴ -a3b- 2a2b2-ab3= -ab(a2 +2ab+ b2)= - (-8)× [20+2× (-8)]=32. 2. (1) ∵ x=a-2015,y=2021- a,xy=5,∴ x+y=a-2015+ 2021-a=6.∴ x2+y2=(x+ y)2-2xy=62-2×5=26.(2) 由 (1),知x2+y2=26,∴ (x-y)2= x2+y2-2xy=26-2×5=16. (3) 由(2),知(x-y)2=16,∴ x- y=4或x-y=-4.当x-y=4时, 由x+y=6,解得x=5,y=1,此时 a=x+2015=2020.当x-y=-4 时,由x+y=6,解得x=1,y=5,此 时a=x+2015=2016.综上所述,a 的值为2020或2016. 3. 设3m-2020=a,2021-3m=b, ∴ a+b=1,a-b=6m-4041. (1) ∵ a2+b2=5,(a+b)2=1, ∴ ab=12 [(a+b)2-(a2+b2)]= 1 2 (1-5)= -2.∴ (3m - 2020)(2021-3m)=-2.(2) ∵ a- b=6m-4041,∴ (6m-4041)2= (a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4× (-2)=9. 4. D 解析:由x2+2(m-1)x+4 是一个完全平方式,结合完全平方公 式的特征可知2(m-1)=±4,从而 有m-1=±2,解得 m=-1或 m=3. 5. (1) 原式=(x+y)2-a(x+y)+ 52.∵ 原式为完全平方式,∴ -a(x+ y)=±2×5(x+y).解得a=±10. (2) ∵ x2+y2+2z2-2xz+2yz= 0,∴ x2+y2+z2+z2-2xz+2yz= 0.∴ (x-z)2+(y+z)2=0.∴ x- z=0①,y+z=0②.∴ ①×2+②, 得2x-2z+y+z=2x+y-z=0. 6. (1) ∵ x2+2y2-2xy+4y+4= 0,∴ (x-y)2+(y+2)2=0.∴ x- y=0,y+2=0.∴ x=y=-2. ∴ y2=(-2)2=4.(2) 5x2+9y2- 12xy-6x+2028=(4x2+9y2- 12xy)+(x2-6x+9)+2019= (2x-3y)2+(x-3)2+2019. ∵ (2x-3y)2≥0,(x-3)2≥0, ∴ (2x-3y)2+(x-3)2+2019≥ 2019,且当2x-3y=0,x-3=0时 取等号.∴ 5x2+9y2-12xy-6x+ 2028存在最小值.当x=3,y=2时, 代数式5x2+9y2-12xy-6x+ 2028取得最小值,最小值为2019. 7. (1) 图①中涂色部分的面积为大 正方形与小正方形的面积差,即 a2-b2,图②中涂色部分是长为a+ b、宽为a-b的长方形,因此面积为 (a+b)(a-b).由图①和图②中涂色 部分的面积相等,可得a2-b2= (a+b)(a-b).故答案为:a2-b2; (a+b)(a-b);a2 -b2 = (a+ b)(a-b).(2) 原式= 1-12 1+ 1 2 1- 13 1+ 13 1- 1 4 1+ 14 … 1- 118 1+ 1 18 1-119 1+119 =12×32× 2 3× 4 3× 3 4× 5 4× …×1718× 19 18× 18 19× 20 19= 1 2× 20 19= 10 19. (3) 原式= (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+ 1)(216+1)(232+1)+1=(22- 1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+ 1)(232+1)+1=(24-1)(24+ 1)(28+1)(216+1)(232+1)+1= (28-1)(28+1)(216+1)(232+1)+ 1=(216-1)(216+1)(232+1)+1= (232-1)(232+1)+1=264-1+ 1=264. 8. (1) 题图②中大正方形的边长为 a+b,面积为(a+b)2,小正方形的边 长为(a-b),面积为(a-b)2,每个长 方形的面积为ab,由拼图,得(a+ b)2=(a-b