整合提优-专题六 因式分解的技巧及其应用-【通城学典】七年级数学暑期升级训练（浙教版）

23 a2 + 2ab + b2, 得 ab = (a+b)2-(a2+b2) 2 .∴ 当m+n= 5,m2+n2=13时,mn=5 2-13 2 =6. ② 由(1)中②的结果(a+b)2=a2+ 2ab+b2,得a2+b2=(a+b)2-2ab. 设x=2019-m,y=2020-m, ∴ y -x =1.∵ xy =1010. ∴ -xy=-1010.∵ y-x=1, ∴ y2+(-x)2=(y-x)2-2y· (-x)=12+2020=2021. 利用换元化繁为简 对结构比较复杂的多项式,若 把其中某些部分看成一个整体,用 新字母代替(即换元),则能使复杂 的问题简单化、明朗化,在减少多 项式项数、降低多项式结构复杂程 度等方面有独到的作用.例如本题 中我们可以设x=2019-m,y= 2020-m,则y-x=1,然后利用 完全平方公式的变形可以快速 求解. 专题六　因式分解的技巧 及其应用 1. (1) ① 原式=(x+2)(x+4). ② 原式=(x+2)(x-3).③ 原式= (x-2y)(x-3y).④ 原式=x(x- 3)(x+1).(2) ∵ 8=1×8,8=-8× (-1),8=2×4,8=-4×(-2), ∴ p的可能值为-1+(-8)=-9, 8+1=9,-2+(-4)=-6,4+2= 6.∴ 整数p 的所有可能值为±9, ±6. 分解因数时遗忘负数导致错误 受思维定式的影响,分解因数 时容易漏掉负因数.解题时应注 意,如果求的是中间项,那么正数、 负数都可以. 2. (1) 原式=(3x+2)(x-7). (2) 原式=(2a-3b)(3a-2b). 3. (1) ① 原式=m2(m-2)- 4(m-2)=(m-2)2(m+2).② 原 式=(x-y)2-9=(x-y+3)(x- y-3).③ 原式=(x2-b2)-2ax+ 2ab=(x+b)(x-b)-2a(x-b)= (x-b)(x+b-2a).(2) ① 由题意, 得ab-a-b+1=5,即(a-1)(b- 1)=5.∵ a,b都是正整数且a>b, ∴ a-1=5, b-1=1, 即 a=6, b=2. ∴ a+b=8. ② 由题意,得ab=a+b+4.∴ s= a2+3ab+b2+3a- 52b=a 2+ 3(a+b+4)+b2+3a-52b=a 2+ 6a+b2+12b+12= (a+3)2+ b+ 1 4 2 +4716.∵ (a+3)2≥0, b+ 1 4 2 ≥0,∴ s≥4716 当且仅当a= -3,b=-14 时取等号 .经验证, a=-3,b=-14 满足ab-a-b- 4=0.∴ s的最小值为4716. 4. (1) 原式=m2+6m+9-1= (m+3)2-12=(m+3+1)(m+3- 1)=(m+4)(m+2).(2) 原式= a4+2a2b2 +b4 -a2b2 = (a2 + b2)2-(ab)2=(a2+b2+ab)(a2+ b2-ab). 5. (1) 原式=x4+16x2+82- 16x2=(x2+8)2-(4x)2=(x2+ 4x+8)(x2-4x+8).(2) 原式= x4+4y4+4x2y2-4x2y2=(x2+ 2y2)2 - (2xy)2 = (x2 +2y2 + 2xy)(x2+2y2-2xy). 6. (1) 观察题图,可得大长方形纸片 的面积为(2a2+5ab+2b2)平方厘 米,利用长方形的面积公式,可得大 长方形纸片的面积为(a+2b)(2a+ b)平方厘米.∴ 2a2+5ab+2b2= (a+2b)(2a+b).故答案为:(a+ 2b)(2a+b).(2) ∵ 题图中涂色部分 的面积为20平方厘米,∴ 2a2+ 2b2=20,即a2+b2=10.∵ 大长方 形纸片的周长为24厘米,∴ 6a+ 6b=24,即a+b=4.∵ (a+b)2= a2+b2+2ab,即42=10+2ab,解得 ab=3.∴ 空白部分的面积为5ab= 5×3=15(平方厘米). 专题七　方程(组)在实际 问题中的应用 1. A 2. 20 解析:设快马x 天追上慢马, 则此时慢马跑了(x+12)天.根据路 程=速度×时间,结合两匹马的路程 相等,即可得出关于x的一元一次方 程:240x=150(x+12).解得x=20. 3. (1) 设购进 A 种玻璃保温杯 x个,则购进B 种玻璃保温杯(80- x)个.由题意,得35x+65(80-x)= 3700.解得x=50.∴ 80-x=30.