第03讲 二次函数与一元二次方程（3大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（人教版）

第03讲 二次函数与一元二次方程（3大考点） ( 考点 考向 ) 一、抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系． △=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； △=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 二、图像法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 三、二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． ( 考点 精讲 ) 1、 抛物线与x轴的交点 1.（2021春•台江区校级月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【考点】抛物线与轴的交点 【专题】推理能力；一元二次方程及应用 【分析】关于的一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标． 【解答】解：根据图象知，抛物线与轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与轴的另一个交点是． 则， 解得，， 即该抛物线与轴的另一个交点是． 所以关于的一元二次方程的根为，． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点．解题时，注意抛物线与关于的一元二次方程间的转换． 2.在平面直角坐标系中，已知函数，，．设函数，，的图象与轴的交点个数分别为，，，则　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力 【分析】根据抛物线与轴交点个数由的符号决定即可判断． 【解答】解：在中， ， 抛物线与轴没有交点， ； 在中， ， 抛物线与轴有1个交点， ； 在中， ， 抛物线与轴有2个交点， ； 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点情况，熟练掌握的符号决定了抛物线与轴的交点情况是解题的关键． 3.（2020秋•元阳县期末）关于二次函数，下列说法正确的是　　 A．图象的对称轴为直线 B．图象与轴的交点坐标为 C．图象与轴的交点坐标为和 D．的最小值为 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念 【分析】对于，令，解得或，令，则，即可求解． 【解答】解：对于， 令，解得或，令，则， 故抛物线和轴的交点坐标为、，函数的对称轴为直线， ，则抛物线有最小值为， 故选：． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 4.（2021•金堂县模拟）二次函数的部分对应值如表，则方程的解是　　 0 1 2 0 3 4 3 A． B．， C．， D．， 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力 【分析】方程的解为时二次函数的的值，根据图表即可得出此方程的解． 【解答】解：根据图表可得：抛物线的对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 方程的解是，． 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，明确方程的解为时二次函数的的值是解题的关键． 5.（2021•禅城区校级一模）二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表： 0 1 3 3 5 3 下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为；③当时，随的增大而减少；④3是方程的一个根．其中正确的个数为　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念 【分析】根据表格数据确定抛物线的对称轴和开口方向，进而求解． 【解答】解：①由表格数据可知，和的函数值都是3， 二次函数的对称轴为直线， 从表格看，对称轴右侧，随的增大而减小，