2.2.1　第1课时　不等式及其性质-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

2.2.1　第1课时　不等式及其性质 1.掌握不等式的性质. 2.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较及证明不等式. 学习目标 知识点一　不等式的常用性质 1.如果a>b，则b<a. 2.如果a>b，b>c，则a>c. 3.如果a>b，则a＋c>b＋c. 4.如果a>b，c>0，则ac>bc. 知识点二　不等式的主要性质 1.如果a>b，c>d，则a＋c>b＋d. 2.如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd. 3.如果a>b>0，则an>bn(n∈N＋). 思考　在不等式的性质中、没有除法公式，那么你怎样理解在不等式性质中的除法运算？ 答　除去一个不为零的数，即乘上这个数的倒数. 题型一　利用不等式性质判断命题的真假 例1　判断下列不等式关系是否正确，并说明理由. 解　正确.∵c2≠0且c2＞0， 题型探究 (3)若a＞b，c＞d，则ac＞bd. 解　错误.a＞b，c＞d⇒ac＞bd，当a，b，c，d均为正数时成立. ∴可组成3个正确命题. 【答案】3 证明　∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0， 又∵a＞b＞0， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即a－c＞b－d＞0， 又∵e＜0， 跟踪训练2　已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp. 证明　∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp. ∴－ap＜－bp， 又m＞n，即n＜m. ∴n－ap＜m－bp. 解　∵3<b<8，∴－8<－b<－3. 又2<a<4，∴－6<a－b<1. 忽视性质成立的条件导致错误 易错点 例4　已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围. 错解　1≤a－b≤2， ① 2≤a＋b≤4， ② 由①＋②，得3≤2a≤6， 由②＋①×(－1)，得0≤2b≤3， 由③×4＋④×(－2)， 得3≤4a－2b≤12. 错因分析　由上述解题过程可知，当 ，3≤4a－2b才取等号，而此时a－b＝0，不满足①式，因此4a－2b是不能等于3的.同理可验证4a－2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形，因此结论是错误的. 正解　令a＋b＝u，a－b＝v， 则2≤u≤4,1≤v≤2. ＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v. ∵2≤u≤4,3≤3v≤6， ∴5≤u＋3v≤10. ∴5≤4a－2b≤10. 当堂检测 1.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A.a＞b＞－b＞－a B.a＞－b＞－a＞b C.a＞－b＞b＞－a D.a＞b＞－a＞－b 【解析】方法一　∵a＋b＞0，∴a＞－b， 又b＜0，∴a＞0，且|a|＞|b|， ∴a＞－b＞b＞－a. 方法二　设a＝3，b＝－2，则a＞－b＞b＞－a. C 2.如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是(　　) 【解析】A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可. A 【解析】∵ab>0， 即－bc>－ad，即bc<ad. A A 5.已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大 值为(　　) A.－1 B.3 C.7 D.8 又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x－y最大值为7. C 6.已知3x－y≤0，x－3y＋5≥0则x＋y的最大值为__________. 【解析】令x＋y＝λ(3x－y)＋μ(x－3y)， 谢谢观看！ 26 4.如果a>b>0，则>(n∈N＋). (1)若＞，则a＞b； ∴在＞两边同乘以c2不等式方向不变.∴a＞b. (2)若a>b，ab≠0，则＜； 解　错误.a＞b⇔＜成立的条件是ab＞0. 跟踪训练1　已知三个不等式：①ab＞0，②＞，③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题. 【解析】将②作等价变形：＞⇔＞0. 由ab＞0，bc＞ad，可得②成立，即①③⇒② 若ab＞0，＞0，则bc＞ad，故①②⇒③； 若bc＞ad，＞0，则ab＞0，故②③⇒①. 题型二　不等式性质的应用 例2　已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. ∴0＜＜， ∴＞. 题型三　利用不等式的性质求范围 例3　已知2<a<4,3<b<8，求a－b，的取值范围. ∵3<b<8，∴<<. 又2<a<4，∴<<. 综上，－6<a－b<1，<<. ∵－<≤，∴－≤－<， ∴－≤<. 又知α<β，∴<0，故－≤<0. 跟踪训练3　已知－≤α<β ≤，求，的取值范围. 解　∵－≤α<β≤， ∴－≤<，－<≤. 将两式相加，得－<<. ∴≤a≤3， ③ ∴0≤b≤， ④ a＝且b