1.2.3 第2课时　充要条件-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

1.2.3　第2课时　充要条件 1 学习目标 1.了解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断. 知识点一　充要条件的概念 思考　若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？ 答案　因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件； 同理，q是p的充分条件，也是必要条件. 梳理　一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 .此时，我们说，p是q的 ，简称 . p⇔q 充分必要条件 充要条件 知识点二　充要条件的判断 1.由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件 若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形： 原命题 逆命题 条件p与结论q的关系 结论 真 假 ____________ p是q成立的充分不必要条件 假 真 ____________ p是q成立的必要不充分条件 p⇒q，但q⇏p q⇒p，但p⇏q 5 真 真 ___________________ p是q成立的充要条件 假 假 __________ p是q成立的既不充分又不必要条件 p⇒q，q⇒p，即p⇔q p⇏q，q⇏p 由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件. 2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}. 类型一　充要条件的判断 例1　下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件) (1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； [解]　∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形， 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p是q的必要不充分条件. (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； [解]　∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0， a＋b＝0⇏a2＋b2＝0， ∴p是q的充分不必要条件. ∴p是q的充要条件. (4)p：sin α>sin β，q：α>β. [解]　由sin α>sin β不能推出α>β， 反过来由α>β也不能推出sin α>sin β， ∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 则p是q的既不充分又不必要条件. 反思与感悟　充要条件的常用判断方法 (1)命题判断法 设“若p，则q”为原命题，那么： ①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件； ④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件. (2)集合法 若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件. 跟踪训练1　下列各题中，p是q的什么条件？ 故p是q的既不充分又不必要条件. (2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3； [解]　y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p⇏q， 而x>1，y>3可得x＋y>4，即q⇒p， 故p是q的必要不充分条件. (3)p：a>b，q：2a>2b； [解]　当a>b时，有2a>2b，即p⇒q， 当2a>2b时，可得a>b，即q⇒p， 故p是q的充要条件. (4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形. [解]　方法一　若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形， 即p⇏q； 若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q⇏p， 故p是q的既不充分又不必要条件. 方法二　如图所示，p，q对应集合间无包含条件， 故p是q的既不充分又不必要条件. 类型二　充要条件的探求与证明 命题角度1　探求充要条件 例2　求关于x的不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件. 判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0， 则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立. 而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0. 显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立. 必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立， 反思与感悟　探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件. 跟踪训练2　“函数y＝x2－