1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 学习目标 基础梳理 1．全称量词命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定￢p：∃x∈M，￢p(x) 2．存在量词命题p：∃x∈M，p(x)， 它的否定￢p：∀x∈M，￢p(x) 3．注意命题p⇒q的否定与它的否命题的区别： 命题p⇒q的否定是p⇒￢q；否命题是￢p⇒￢q. 1．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0的否定是：______. 2．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是______． 3．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否命题是________． 【答案】1．￢p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0 2．否定形式：存在末位数是0或5的整数，不能被5整除 3．否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除 自测自评 例1 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)任何一个平行四边形的对边都平行； (4)负数的平方是正数． 典例精析 [解] (1)是全称量词命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形， 且它的内角和不等于180°. (2)是全称量词命题且为假命题． 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下． (3)是全称量词命题且为真命题． 命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行． (4)是全称量词命题且为真命题． 命题的否定：某个负数的平方不是正数． 跟踪训练 1．写出下列命题的否定： (1)三个给定产品都是次品； (2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. [解] (1)三个给定产品中至少有一个是正品． (2)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数． (3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一． (4)存在被5整除的整数，末位不是0. 例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2＋1＜0； (4)∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3. [解] (1)命题的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”．也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2.因此命题的否定为假命题． (2)命题的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定是：“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．由于x2＋1≥1＞0，因此命题的否定是真命题． (4)命题的否定是：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”． ∵当x＝0，y＝3时， x＋y＝3， 因此命题的否定是假命题． 跟踪训练 2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)p：∃x＞1，使x2－2x－3＝0； (2)p：若an＝－2n＋1，则∃n∈N，使Sn＜0； (3)p：有些偶数是质数； (4)p：∃x∈R，x＞2； (5)p：∃x∈R，x2＜0. [解] (1)￢p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假) (2)￢p：若an＝－2n＋1，则∀n∈N，Sn≥0.(假) (3)￢p：所有偶数都不是质数．(假) (4)￢p：∀x∈R，有x≤2.(假) (5)￢p：∀x∈R，x2≥0.(真) 一、选择题 1．已知命题p：∀x∈R，x>sin x，则(　　) A．￢p：∃x∈R，x<sin x　 B．￢p：∀x∈R，x≤sin x C．￢p：∃x∈R，x≤sin x D．￢p：∀x∈R，x<sin x 2．设命题p：“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”，则￢p是(　　) A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0 C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0 D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0 C D 课时训练 1．全称量词命题的否定是存在量词命题．因为要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)成立”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也即“∃x∈M，￢p(x)成立”． 2．要证明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例． 3．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”，如例1第(4)小题，将否定写成“负数的平方不是正数”就错误了，因为这个命题也是全称量词命题，是假命题． 4．存在量词命题的否定是全称量词命题，要否定存在量词命题“∃、x∈M，p(x)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“∀x∈M，┐p(x)成立”． 课堂小结 5．要证明存在