专题10 椭圆（重难点突破）-【课后辅导专用】2022年暑期高一升高二数学辅导讲义（新教材人教A版2019）

专题10 椭圆 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 离心率 e＝，　　e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 【知识必备】 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 三、题型突破 重难点题型突破01 椭圆的定义及其应用 例1、（1）、（2021·全国·高二专题练习）若动点满方程，则动点M的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． （2）．（2021·全国高二专题练习）动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________． 【变式训练1-1】、（2022·甘肃武威·高二期末（理））动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（       ） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定 【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 重难点题型突破02 椭圆的标准方程与简单的几何性质 例2．（1）、（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示椭圆”的（       ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 （2）、（2022·江苏·高二）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于，两点，则（       ） A．的周长为4 B．的周长为8 C．椭圆上的点到焦点的最短距离为1 D．椭圆上的点到焦点的最短距离为3 【变式训练2-1】、（2022·上海静安·二模）已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________. 【变式训练2-2】、（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）（多选题）已知、分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆C上一点，则下列说法正确的是（       ） A． B．椭圆C的离心率为 C．存在点A使得 D．面积的最大值为12 重难点题型突破03 求椭圆的标准方程 例3、（2022·江苏·高二）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； (3)经过，两点． 【变式训练3-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的方程为. (1)求它的长轴长､短轴长､顶点坐标､焦点坐标； (2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有多少个？试写出其中的两个椭圆方程. 例4．（1）、（2022·全国·高二课时练习）双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为______． （2）、（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【变式训练4-1