专题08 圆的方程（重难点突破）-【课后辅导专用】2022年暑期高一升高二数学辅导讲义（新教材人教A版2019）

专题08 圆的方程 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一 圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0) 圆心C：(a，b) 半径：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 圆心： 半径：r＝ 知识点二 点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种情况 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2⇔点在圆上； ②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0 －b)2<r2⇔点在圆内． 三、题型突破 重难点1 圆的方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 例1．（1）、（2022·江苏·高二）圆的圆心和半径分别是（       ） A．， B．， C．， D．， （2）、（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（       ） A． B． C． D． （3）．（2021·河南许昌市·高一期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】．（2020·全国高二课时练习）过点的圆C与直线相切于点，则圆C的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】．（2023·全国·高三专题练习）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【变式训练1-3】．（2022·上海市第三女子中学高二期末）圆关于直线对称的圆的方程为______． 例 2．（2022·江苏·高二）求下列圆的方程 (1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程； (2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 【变式训练2-1】．（2022·江苏·高二）已知圆M过点． (1)求圆M的方程； (2)若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值． 【变式训练2-2】．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知圆M的圆心在直线上，圆M与y轴相切，且圆M截x轴正半轴所得弦长为． (1)求圆M的标准方程； (2)若过点且斜率为k的直线l交圆M于A、B两点，且点，当的面积为，求直线l的方程． 重难点2 直线与圆的位置关系 判定直线与圆位置关系的常用方法： （1）几何法：根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断． （3）直线系法：若动直线过定点，则点在圆内时，直线与圆相交；当在圆上时，直线与圆相切或相交；当在圆外时，直线与圆位置关系不确定． 例3．（1）、（2022·全国·高三专题练习（理））若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（        ） A． B． C． D． （2）．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知圆，则下列说法正确的有（ ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【变式训练3-1】．若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为(　　) A．1 B．－3 C．1或－3 D．2 【变式训练3-2】．（2022·湖北·丹江口市二中高二期末）（多选题）已知圆，直线，直线l与抛物线交于A，B两点，（       ）． A．l被圆C截得的弦长的最小值为 B．l被圆C截得的弦长的最小值为 C．若弦AB中点的坐标为，则 D．若弦AB中点的坐标为，则 例4．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆，定点，其中为正实数， (1)当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数的值； (2)当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围 【变式训练4-1】．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知点，动点满足，记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)设直线与轴的交点为，过的两条直线都不垂直于轴，与交于点，，与交于点，直线与分别交于两点，证明：． 【变式训练4-2】．（2022·辽宁·高三期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点． (1)求线段的垂