专题06 超越不等式（方程）-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题06 超越不等式（方程） 【方法点拨】 含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式，一般是先猜根，再构造函数，利用函数的单调性来解决. 【典型题示例】 例1 （2022·新高考I·22改编）已知函数和有相同最小值，则实数 . 【答案】 【分析】利用导数知识易得，，，根据最小值相等得，即，猜根易得可求是其中一个根，构造函数，研究函数的单调性，说明根的唯一性从而得解. 【解析】的定义域为，而， 若，则，此时无最小值，故. 的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上，. 例2 (2022·四川·成都·二检)已知函数的零点为，则 . 【答案】1 【分析】 【解析】由题意得: ∴ 设在上单增 故有，即 ∴. 例3 (多选题)(2022·江苏七市三模)已知函数的零点为，的零点为，则 A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】，则， 显然单增，故等价于，则，故A错误； 因为单增，且，故，则 故，则B正确； ，则C正确； D.，因为，故， 则，而，则，故D正确. 例4 已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】考虑从“形”的角度切入，与已知圆同心且与相切的圆的半径与已知圆的半径之差即为所求 如下图 设该圆与相切的切点为 则由导数的几何意义、圆的切线性质得 即，此为超越方程，应先猜根，易知为其中一个根 设，则，单调递减 故为其唯一的一个根，此时切点为 所以的长度的最小值为，故选A. 例5 已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数，若函数的定义域为R，且，则a的取值范围是 ． 【答案】(2，4) 【解析】由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立， 所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4． 方法1（讨论单调性） 由f(x)＝，得f'(x)＝． ①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意． ②当0＜a＜2时， 因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减， 所以f(a)＞f(2)，不符题意． ③当2＜a＜4时， 因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减， 所以f(a)＜f(2)，满足题意． 综上，a的取值范围为(2，4)． 方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性） 由f(2)＞f(a)，得＞． 因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞(4－a)． 设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4． 因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减． 又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)． 所以，a的取值范围为(2，4)． 例6 已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为 ． 【答案】 【解析】易得f(1)＝f(e)=0 ∵ ∴当时，，在单减；当时，，在单增 ∴的解集是 令，得，故f(ex)＜0的x的取值范围为． 例7 若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对进行“完全分参”，两边同时除以、移项得，令，问题转化为存在正数，使得成立，再设，只需的值域. 【解析】对两边同时除以、移项得， 令，问题转化为存在正数，使得成立， 设，只需的值域. 猜根，往与的方向猜，可得 再设，则 故在区间单减 所以在区间只有一个零点为 且当时， 故有当，，单增；当，，单减 故当时，取得极大值也就是最大值为，无最小值 故即为所求. 【巩固训练】 1.已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 2. 关于的不等式的解集为___________. 3. 方程的根是___________. 4.已知、分别是方程、的根，则＋的值是 . 5.已知实数x、y满足，则的值是 . 6.不等式的解集是 . 7.方程的根是 . 8. 已知函数，则的解集为_________． 【答案或提示】 1. 【答案】D 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【解析】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为