重难点07 二次函数最值问题 -2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

重难点07 二次函数最值问题 ( 技巧 方法 ) 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. ( 能力拓展 ) 一、填空题 1．（2022·浙江宁波·一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为______；作弦于H，则CH的最大值为________． 【答案】     8     【分析】先根据平行线的性质可得，过点作于点，设，再解直角三角形可得，利用勾股定理可得，然后根据垂径定理可得，解直角三角形可得，令，则，利用二次函数的性质即可得的最大值，最后根据的面积为即可得出答案． 【详解】解：的半径为4，， ， ， ， 如图，过点作于点，设， ， ， 由垂径定理得：， ， 令，则， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 的面积为， 则当取得最大值时，的面积最大，最大值为， 故答案为：8，． 【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形的应用、二次函数的性质，熟练掌握解直角三角形的方法和二次函数的性质是解题关键． 2．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为，，为轴上的动点，连结，，过点作的垂线交轴于点．连结并取的中点为，连结．则的度数为______；线段的最小值为______． 【答案】          【分析】答题空1：过点作交轴于点，在中，根据点的坐标，利用锐角三角函数，求出，得到，最后由计算即可； 答题空2：设，设直线的解析式为：，设直线的解析式为：，可得，再根据，可得到，所以直线的解析式为，可得，再根据点为的中点，得到，最后利用勾股定理求得，再利用二次函数顶点坐标公式求出的最小值取可． 【详解】解：如图，过点作交轴于点，设， ∴为直角三角形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． ∵点，的坐标分别为，， 设直线的解析式为：，设直线的解析式为：， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为 当时，，即， ∴， 又∵点为的中点， ∴，即 ∴ ∵二次项系数， 当时，， ∴线段的最小值为． 故答案为：； 【点睛】本题考查的是几何图形与函数的综合题，考查了锐角三角函数，一次函数，二次函数的顶点坐标，勾股定理等知识．把几何问题转化为函数问题是解答本题的关键． 二、解答题 3．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线上不同的两点． ①若，求之间的数量关系． ②若，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为 【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值． (1)抛物线与x轴相交于点 解得 ； (2)①点是抛物线上不同的两点． 若，则． ； ② ==， 当=1时，的最小值为-2． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4．（2022·浙江温州·九年级开学考试）如图是某个二次函数的图，顶点是（1、4）与x轴的一个交点是（3、0）， (1)求该二次函数关系式； (2)若抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2，请分别求出m、n的取值范围， 【答案】(1)y=-（x-1）2+4 (2)m的取值范围为-2≤m≤2，n的取值为-5≤n≤4． 【分析】（1）根据图象设出抛物线的顶点式，再根据抛物线过点（3，0），即可求出二次函数关系式； （2）根据抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2，可以求出m的取值范围；根据函数图象的增减性求出n的取值即可． (1)根据图象知，抛物线的顶点坐标为（1，4）， ∴设二次函数关系式为y=a（x-1）2+4， 又∵函数图象过（3，0）， ∴0=4a+4， 解得a=-1， ∴函数解析式为：y=-（x-1）2+4； (2)由（1）函数解析式知，函数与y轴的交点为（0，3）， 函数与x轴的另一交点为（-1，0）， ∵抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2， ∴-2≤m≤2； 由图知，当x=1时函数有最大值为4， ∴n≤4， 当x=-2时，y=-5； 当x=2时，y=3； ∴当x=-2时，二次函数有最小值y=-5， ∴当-2≤x≤2，y的取值为-5≤y≤4 ∴n的取值为-5≤n≤4． 综上所述，m的取值范围为-2≤m≤2，n的取值为-5≤n≤4． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2021·浙江·温州市第二中学二模）“甜甜”糖果厂拟于六一儿童节前40天里生产销售某款糖果，其成本为20元/千克．设第x天的销售价格为y元/千克，销售量为m千克．