重难点06 二次函数中四边形的存在性问题-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

重难点06 二次函数中四边形的存在性问题 ( 技巧 方法 ) 类型一：已知三点的平行四边形问题 1、 知识内容： 已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图．第四个点M则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M点）． 2、 解题思路： （1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3） 更换顶点，求出所有可能的点； （4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答． 类型二：存在动边的平行四边形问题 1、 知识内容： 在此类问题中，往往是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且相等列出方程，进而解出相关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解． 2、 解题思路： （1） 找到或设出一定平行的两条边（一组对边）； （2） 分别求出这组对边的值或函数表达式； （3） 列出方程并求解； （4） 返回题面，验证求得结果． ( 能力拓展 ) 一、填空题 1．（2020·浙江·九年级期中）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于另一点（点在对称轴左侧），点在的延长线上，连结和．当四边形是平行四边形时，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】过C作y轴的垂线，过A、B作x轴的垂线，它们相交于E、F两点，可证明△AEC∽△BFC，得出，设点B的横坐标为3a，则点A的横坐标为-5a，根据平行四边形对角线互相平分和两点之间中点公式可求得a的值，可表示A点纵坐标，再根据相似表示B点纵坐标，根据两点之间中点公式可求得c，从而求得点A坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点坐标D为，， 如图所示，过C作y轴的垂线，过A、B作x轴的垂线，它们相交于E、F两点， ∵AE和BF与x轴垂直，∴AE//BF，∴△AEC∽△BFC， 设点B的横坐标为3a， ∵，∴，∴A的横坐标为-5a， 若四边形AOBD是平行四边形， ∴，解得， ∴，当x=-5时，，即， ∴，,∴B点的纵坐标为， ∴，解得，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数综合．主要考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质．正确构造辅助线，作出相似三角形，并利用相似三角形的性质表示点的坐标或者线段的长度是解题关键． 二、解答题 2．（2020·浙江温州·模拟预测）如图，直线l： 与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为A． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交l于点E，求的最大值； (3)设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，(2)最大值是3，(3)能，或 【分析】（1）先确定出点B、C坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先设出点P的坐标，进而得出点D、E的坐标，即可得出的函数关系式，即可得出结论； （3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论． (1)解：∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，∴、， ∵点、C在抛物线解上，∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． (2)∵点P在直线l下方的抛物线上，设， ∵轴，轴，点D，E都在直线上， ∴，， ∴， ， ∴， 即：， ∴当时，的最大值是3． (3)能，理由如下：∵抛物线的解析式为，令， 解得：或，∴，，∴， 如图，若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形， 当以AB为边时，则且， 设，则，∴， 解得：或与A重合，舍去，∴， 当以AB为对角线时， 连接交AB于点G，则，， 设，∵，，∴，∴，∴， 作于点M，于点N，则，， 设，则， ∴， 解得：或与A重合，舍去， ∴， 综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，此时点F的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数极值的确定方法，平行四边形的性质，二元一次方程组，一元二次方程，中点坐标，两点间距离公式等知识．用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 3．（2022·浙江湖州·一模）如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接． (1)求该二次函数的表达式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围； (3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请