重难点05 二次函数中面积问题-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

重难点05 二次函数中面积问题 ( 技巧方法 ) 类型一：固定面积的存在性问题 固定面积的存在性问题最为简单，在待求图形中，往往只有一个是变量，此时只需通过方程将其解出即可． 类型二：有关面积比的存在性问题 有些问题是关于两个未知面积比的，此类问题的难度稍大．一般都需要先通过公共边或公共高，将面积比转化为线段之比，从而进一步列出方程解决问题． 解题思路： 根据题目条件，求出相应的固定面积； 找到待求图形合适的底和高； 列出方程，解出相应变量； 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答． ( 能力拓展 ) 一、填空题 1．（2022·浙江温州·九年级期末）已知二次函数（其中x是自变量）图象与x轴交于A，B两点，当时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当时，△ABP面积的最大值为8，则a的值为________． 【答案】 【分析】根据函数解析式可以求得与x轴的两个交点，然后根据当x⩾0时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当-2⩽m⩽2时，△ABP面积的最大值为8，即可求得a的值． 【详解】∵y=ax2+2ax-3a=a（x+3）（x-1）， ∴当y=0时，x=-3或1， 不妨设点A的坐标为（-3，0），点B（1，0）， ∴AB=1-（-3）=1+3=4， ∴该抛物线顶点的横坐标为，纵坐标为y=a-2a-3a=-4a， ∵当x⩾0时，y随x的增大而减小， ∴a＜0， ∵P为抛物线上一点，且横坐标为m，当-2⩽m⩽2时，△ABP面积的最大值为8， ∴当x=2时，y=4a+4a-3a=5a，当x=-1时，y=-4a， ∵|5a|＞|-4a|， ∴， 即， 解得a=， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是判断a的正负情况，求出a的值． 2．（2022·浙江金华·九年级期末）已知二次函数y＝2x2﹣8x＋6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足S△ABP1＝S△ABP2＝S△ABP3＝m，则m的值为______． 【答案】2 【分析】根据题意可求出A、B两点坐标，即可求出AB的长．根据抛物线上有且只有P1，P2，P3三点满足，即可知中必有一点在抛物线顶点上，求出其顶点坐标，最后利用三角形面积公式求出面积即可． 【详解】对于，令y=0，则， 解得：， ∴A(1，0)，B(3，0)（假设A在B左侧） ∴AB=2． 根据若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足， 可知中必有一点在抛物线顶点上， 如图，设点在抛物线顶点， ∵， ∴(2，-2)． ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题为二次函数综合题．理解若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足时，中必有一点在抛物线顶点上是解答本题的关键． 二、解答题 3．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）． (1)求m的值以及二次函数的表达式； (2)若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积． 【答案】(1)m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；(2)△POA的面积为3． 【分析】（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答； （2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可． (1)解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：m=3，∴A（3，3）， 把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：3=-9+3b，解得：b=4，∴y=-x2+4x， 答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x； (2)解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E， ∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴顶点P（2，4）， 把x=2代入y=x中得：y=2，∴D（2，2），∴PD=4-2=2， ∵△POA的面积=△OPD的面积+△APD的面积， ∴△POA的面积=PD•OC+PD•AE =PD（OC+AE） =×2×3 =3， 答：△POA的面积为3． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA的面积分成△OPD的面积与△APD的面积之和是解题的关键． 4．（2022·浙江·九年级专题练习）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，﹣8）和点P（m，0）（m≠0）． (1)若点A是抛物线的顶点，则m＝______． (2)如图，若m＝2，设此时抛物线的顶点为B，求△OAB的面积． 【答案】(1)8，(2)S△AOB＝