重难点04 二次函数中线段周长问题-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版）

重难点04 二次函数中线段周长问题 ( 能力拓展 ) 一、填空题 1．（2021·浙江·绍兴市元培中学九年级阶段练习）抛物线y＝ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点，若直线yx向上平移m个单位所得的直线与抛物线段BC段（包括端点B、C）部分有两个交点，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据点B、C的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式，画出二次函数及一次函数图象，分别求出当直线经过点C及直线与抛物线相切时m的值，再结合图形即可得出结论． 【详解】解：将B（﹣2，6）、C（2，2）代入y＝ax2+bx+2， ， 解得：， ∴二次函数解析式为yx2﹣x+2． 依照题意画出图形，如图所示, 当点C（2，2）在直线yx+m上时， 2＝﹣1+m，解得：m＝3； 将yx+m代入yx2﹣x+2中， 整理得：x2﹣x+4﹣2m＝0， 当直线yx+m与抛物线yx2﹣x+2相切时， 有＝（﹣1）2﹣4×（4﹣2m）＝0， 解得：m． ∴若直线yx向上平移m个单位所得的直线与抛物线段BC段（包括端点B、C）部分有两个交点，则m的取值范围是 故答案为： ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及根的判别式，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 二、解答题 2．（2021·浙江·绍兴市第一初级中学九年级阶段练习）已知二次函数l1：y＝x2+6x+5k和l2：y＝kx2+6kx+5k，其中k≠0且k≠1． (1)分别直接写出关于二次函数l1和l2的对称轴及与y轴的交点坐标； (2)若两条抛物线l1和l2相交于点E，F，当k的值发生变化时，判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由； (3)在（2）中，若二次函数l1的顶点为M，二次函数l2的顶点为N； ①当k为何值时，点M与点N关于直线EF对称？ ②是否存在实数k，使得MN＝2EF？若存在，求出实数k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)l1的对称轴为x＝﹣3，和y轴的交点坐标为(0，5k)；l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标(0，5k) (2)不发生变化，见解析 (3)①k为﹣1；②或﹣ 【分析】（1）二次函数l1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）；同理可得l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）； （2）可令y1＝y2，求出点E、F的横坐标，从而得到点E、F的坐标，进行得到EF的长，就可解决问题； （3）易得点M、N的坐标及直线EF的关系式，然后根据条件建立关于k的方程，就可解决问题． (1)解：二次函数l1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣3， 令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）； 同理可得：l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）； (2)解：线段EF的长度不发生变化， 理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k＝kx2+6kx+5k， 整理得：（k﹣1）（x2+6x）＝0． ∵k≠1， ∴x2+6x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣6． 不妨设点E在点F的左边， 则点E的坐标为（﹣6，5k），点F的坐标为（0，5k）， ∴EF＝|0﹣（﹣6）|＝6， ∴线段EF的长度不发生变化； (3)解：①由y1＝x2+6x+5k＝（x+3）2+5k﹣9得M（﹣3，5k﹣9）， 由y2＝kx2+6kx+5k＝k（x+3）2﹣4k得N（﹣3，﹣4k）． ∵直线EF的关系式为y＝5k，且点M与N关于直线EF对称， ∴﹣4k﹣5k＝5k﹣（5k﹣9）， 解得：k＝﹣1， ∴当k为﹣1时，点M与N关于直线EF对称； ②∵MN＝|（5k﹣9）﹣（﹣4k）|＝|9k﹣9|，MN＝2EF＝12， ∴|9k﹣9|＝12， 解得k1＝，k2＝﹣， ∴实数k为或﹣． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程、轴对称的性质、解绝对值方程等知识，需要注意的是当两点横坐标相同时，两点之间的距离应为这两点纵坐标差的绝对值． 3．（2022·浙江温州·二模）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点，．抛物线，的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线，于点，． (1)求抛物线的对称轴和点的横坐标． (2)求线段和的长度． 【答案】(1)对称轴；点的横坐标是-3，(2)； 【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A，E关于对称轴x=-1对称和点E的横坐标直接求出点A的横坐标； （2）求出P2的对称轴，再求出点B的坐标，从而求得AB的长，把分别代入两个函数表达式，求得，从而求得CD的长． (1)抛物线的对称轴 ∵点与点关于直线对称，且点的横坐标是1 ∴点的横坐标是 (2)抛物