第07讲 角平分线的性质-【暑假新课预习】2022年八年级数学暑假预习课（人教版）

第07讲 角平分线的性质 【学习目标】 1.在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质. 2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用. 【基础知识】 知识点01 作已知角的平分线 1、用尺规作已知角的平分线的步骤 已知:∠AOB,如图.求作:∠AOB的平分线. 作图步骤 第一步 第二步 第三步 【注意】 (1）第二步中必须“以大于MN的长为半径画弧”,否则，两弧不相交,不存在点C,无法作出角的平分线. (2)“画射线OC”不能叙述为连接OC,因为角平分线OC是射线,而不是线段. (3)两弧的交点要在角的内部来找,因为要作的是角的平分线. 2、尺规作图理论依据 【注意】 角平分线的尺规作图的依据是全等三角形的判定- 知识点02 的平分线的性质 1、角平分线的性质:角的平分线上的点到角的 相等. 几何语言： 【注意】 (1)这里的“距离”指的是点到角的两边的 ; (2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再来证:明三角形全等; (3)使用该性质的前提条件是图中有 和 . 【特别注意】 角平分线性质的“两误区” (1)垂足的位置不对:如图,垂线段的垂足应在角的两边上，而不是在角平分线上; (2)有相等无垂直:如图,PC=PD,但 PC,PD的长不是点P到OA,OB的距离. 知识点03 角的平分线的判定 1、角平分线的判定:角的 到角的两边的 的点在角的平分线上. 2、几何语言： 【注意】 （1）角的平分线可以看作是由角的内部到角的两边距离相等的所有点组成的射线. （2）注意不能缺少 , 这两个条件. （3）角平分线的性质和判定的条件和结论是互逆的,在应用的时候一定要分清条件及得到的结论. 【考点剖析】 考点一：作已知角的平分线 例1．如图,AB// CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.若∠ACD=114°,求∠MAB的度数. 考点二：角平分线的性质 例2．如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8 cm,BD=5 cm,点D到直线AB的距离是 cm. 考点三：证明一个几何命题的一般步骤 例3．求证全等三角形对应边上的高相等. 1、明确命题中的已知和求证 2、根据题意，画出几何图形，并用数学符号表示已知和求证 解：已知：△ABC≌△EFG，AD⊥BC,EM⊥FG，如图： 3、经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出推理过程 证明： 考点四：角平分线的判定 例4．如图,BE=CF,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D.求证:AD平分∠BAC. 考点五：利用角的平分线解决线段长度问题 例5．如图,在 Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE上AB于点E.已知AB=10 cm,则三角形DBE的周长为( ) A.10 cm B.8 cm C.12 cm D.9 cm 考点六：利用角的平分线解决角度问题 例6．如图,已知∠1=∠2,P为BN上一点,PF⊥BC于点F，PA=PC.求证:∠PCB＋∠BAP=180°. 考点七：利用角的平分线解决与面积有关的问题 例7．如图，已知△ABC的周长为24，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD上BC于点D,且 OD=2,则△ABC的面积为 ; 考点八：角的平分线的判定综合应用 例8．如图,AP,CP分别是∠ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们相交于点P,PD⊥BM于点D,PF⊥BN于点F.求证:点P在∠MBN的平分线上. 考点九：角的平分线性质的实际应用 例9．如图,三条公路两两相交于A,B,C三点.现计划修建一加油站,要求这个加油站到三条公路的距离相等.请问:可供选择建站的地方有多少处?并在图中画出来. 考点十：角的平分线的性质在探究题型中的应用 例10．如图,已知AD// BC,∠ADP=90°,AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,点P恰好在DC上. (1)求证:P为DC的中点; (2)试探究线段AB,AD,BC的数量关系. 例11．如图所示,Q是△OAB的角平分线OP上的一点,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,QE⊥OB于点E,FQ⊥OQ交OA于点F,则下列结论正确的是（ ） A.PA=PB B.PC=PD C.PC=QE