苏教版（2019）必修第一册 第2章 常用逻辑用语 知识点+典型例题+自我训练-2023届江苏省南京市秦淮中学高考零轮复习

第2章 常用逻辑用语 自主学习 回归教材 【知识清单】 1. 充分条件与必要条件 （1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件； （3）若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件； （4）若p⇔q，则p是q的充要条件； （5）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 2. 全称量词与存在量词 1．全称量词与全称命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题． （3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2．存在量词与特称命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题． （3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 3．全称命题与特称命题的否定 （1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． （2）“或”的否定为：“非且非”；“且”的否定为：“非或非”． （3）含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 自我体验 1.“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 2.设命题，则的否定为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 3.设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A. 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.故选B. 5.是的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由不等式，即， 解得或，即不等式的解集为或， 所以是的充分不必要条件.故选：C 6. 命题：“，”的否定是___________. 【答案】，． 7.已知是的约数，是的约数，则或的形式为 ； 且的形式为 ；非的形式为 答案：是的约数或是的约数；是的约数且是的约数；不是的约数 要点导学 各个击破 典例评析 例1、求证：函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数的充要条件是a＝0. 证明　充分性：若a＝0，则函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数．因为a＝0，所以f(x)＝x2＋|x|＋1(x∈R)， 又因为f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1，所以f(x)是偶函数． 必要性：若f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数，则a＝0，因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即 (－x)2＋|－x＋a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，所以x2＋|x－a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1， 从而|x－a|＝|x＋a|，因此(x－a)2＝(x＋a)2，展开整理，得ax＝0，因为x∈R，所以a＝0. 点评：本题为有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性． 例2.已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围． 解析： p：解得m>2. q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0. 解得1<m<3.∵p或q为真，p且q为假，∴p为真q为假，或p为假q为真． 即或解得m≥3或1<m≤2. 综上，m的取值范围是m≥3或1<m≤2. 点评：本题为逻辑联结词与命题真假的应用。先求出的真值集合，再根据的逻辑关系，求出参数的范围。 例3.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题．求实数m的取值集合B；（2）设不等式的解集为A，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：命题：“，都有不等式成立”是真命题， 得在恒成立， ， 因为，得，即． 不等式， 当，即时，解集， 若是的充分不必要条件，则A是B的真子