苏教版（2019）必修第一册 第3章 不等式 知识点+典型例题+自我训练-2023届江苏省南京市秦淮中学高考零轮复习

第三章：不等式： 模块一：自主学习 回归教材 【知识清单】 知识点一：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*) 同正 知识点二　基本不等式 1．基本不等式：如果，，，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：，a，b∈R，当且仅当时，等号成立． ，a，b都是正数，当且仅当时，等号成立． 3. 变形：若若 4.变形：若同号，，若异号， 知识点三：　用基本不等式求最值 用基本不等式求最值应注意： (1)，（一正） (2)二定（积定和小，和定积大） ①如果等于定值P，那么当时，和有最小值2； ②如果等于定值S，那么当时，积有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足（三相等）． 知识点四　基本不等式拓展 （调和平均数 几何平均数算术平均数加权平均数） 当，时，则有 知识点五：　三个二次的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1,2＝ x1＝x2＝－ 无根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 － 无零点 总结：零点不是点，它是方程的根，是函数图像与x轴交点的横坐标，是不等式解集的区间端点。 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 【自我体验】 1. 解下列不等式： ；；； 【答案】解：法一：原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为 法二：对于方程，因为， 所以方程有两个不同实根，分别是，2， 所以原不等式的解集为 对于方程因为， 且其对应函数的图象开口向上，所以的解集为R. 法一：原不等式可化为，即，可化为， 所以原不等式的解集为 法二：原不等式可化为，对于方程因为， 所以方程有两个不同实根，分别是，，所以原不等式的解集为 对于方程因为， 且其对应函数的图象开口向上，所以不等式的解集为 2. 设，则下列命题正确的是 A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 令 ， ， ， ，则 ，故错误 ; 令 ， ，则 ，故错误 ; 令 ， ， ， ，则 ，故错误 ; 因为 ，所以 即 ，故正确 ; 故选 3.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们利用该图证明(　　) A.如果a>b，b>c，那么a>c B.如果a>b>0，那么a2>b2 C.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立 D.如果a>b，c>0那么ac>bc 答案　C 解析　可将直角三角形的两直角边长取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2).则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab. 对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立. 4．设，则下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A成立； 对于B，若，，则，，此时，所以B不成立； 对于C，因为，所以，所以C成立； 对于D，因为，所以，则，所以D成立，故选：B.. 5．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在(0,1)之间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前比的变化是(　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 答案　C 解析　设升级前为，升级后“屏占比”为(a>b>0，m>0)．∴－＝>0， ∴手机的“屏占比”和升级前相比变大．故选C. 6.函数的最小值为 ；此时 ； 【答案】； 【解析】，当且仅当时取等号。 7.当时，的最小值为 ； 答案： 解析： 8.已知正数满足，则的最小值为