苏教版（2019）必修第一册 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 知识点+典型例题+自我训练-2023届江苏省南京市秦淮中学高考零轮复习

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 模块一：知识清单+自我检测 知识点一　幂函数的概念 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 思考　通过对5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ 答案　第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增， 在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点三　一般幂函数的性质 1．函数y＝xα，当α>0时，具有的性质： (1)函数的图象都过点(0,0)和(1,1)； (2)在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数． 2．函数y＝xα，当α<0时，具有的性质： (1)函数的图象都过点(1,1)； (2)在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数． 知识点四：　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 思考　为什么底数应满足a>0且a≠1? 答案　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1. 知识点五：　指知识点一　指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，图象在x轴的上方 函数值 的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 知识点六：　对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 自我体验 1. 幂函数的图象过点，则幂函数的图象是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设幂函数的解析式为 ， 幂函数 的图象过点 ， ， 解得 ， ，其定义域为 且是增函数， 当 时，其图象在直线 的上方，对照选项， 故选 2. 已知幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设幂函数 ， 的图象经过点 ， ，解得 ， 则 ，且 ， 由幂函数可得 的单调递增区间是 ， 故选 3. 幂函数在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据函数图象得到 取 ，得到 ，根据指数函数的性质，得到 ， 所以 ， 故选 4.函数的奇偶性为 ；单调增区间为 ； 单调减区间为 ； 答案：偶函数；； 5.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为____________． 答案：a>c>b 解析　∵y＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，∴，即a>c， ∵y＝()x在x∈(－∞，＋∞)上单调递减，∴，即c>b，∴a>c>b. 6.指数函数是上的单调减函数，则的取值范围是 ； 答案： 解析：， 7.已知函数是奇函数，则的值为 答案： 解析：由题知，， 8.函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________． 答案：[－8，] 9.已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________. 答案：3－3　 解析： 由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，函数f(x)递增，∴a＝， 则f(3)