拓展四：立体几何的翻折问题 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

拓展四：立体几何的翻折问题 立体几何是高中数学的重点内容，图像的翻折是立体问题中的一类典型问题，是连接平面几何与空间几何的纽带，成为立体几何中考查分析能力与创新能力的好素材，备受命题者的青睐。立体几何翻折问题是指将平面图形沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折，使之变成空间几何体，以此为载体，考查空间中点、线、面之间的相互关系，或角度与距离关系。现将翻折问题中的几类常见题型进行剖析，以其对同学们的复习备考能有所帮助。 立体几何解题的根本思想是把空间问题转化为平面问题，解决翻折问题时，首先要根据题目的要求正确画出由平面图形折成的空间图形，即由平面图形转化成空间图形。在解题过程中，往往根据问题的需要再把空间图形还原成平面图形，对比平面图形和空间图形，找准翻折的起点与翻折的程度，弄清翻折过程中的变与不变的量进行求解，这是处理翻折问题的关键。 认知规律： 确定翻折前后变与不变的关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算 考点一 翻折后位置关系的判断 解题的前提和必要步骤是分析清楚翻折前平面图形的结构特征，以及翻折前后图形中变与不变的量，特别要注意不变中的直角。 【例1-1】【多选】如图，为正方形的边上异于点的一个动点，将沿翻折成，使得平面平面，则下列说法中正确的有（       ） A．在平面内存在直线与平行 B．在平面内存在直线与垂直 C．在平面内存在直线与平面平行 D．存在点，使得直线平面 【解析】对于选项A，若在平面内存在直线与平行， 又因为面PBM，则平面，而与面相交， 故矛盾，A错误； 对于选项B，设，过O做AC的垂面α， 因为面α与面有公共点O， 所以平面平面，且， 则，面，故B正确； 对于选项C，如图 延长交于点连接，作 平面，平面， 平面，所以平面， 故存在，C正确； 对于选项D，若平面，则 又，所以平面 所以，可知点在以为直径的圆上 又该圆与无交点，所以不存在，D错误. 故选：BC. 变式1：【多选】在矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成，若点为线段的中点，则在翻折过程中，下述选项正确的是（       ） A．是定值 B．点在某个球面上运动 C．存在某个位置，使 D．存在某个位置，使平面 【解析】取中点，连接，则,且 且，所以,且度数大小为定值， 由余弦定理可得， 由于MF,BF以及是定值，故MB为定值，故A正确； 由于B为定点，MB为定值，所以是在以为球心，为半径的球上，可得正确； 因为 , , 故,故 , 假设，由于平面 , 故平面,则,则 , 而，这在中是不可能的，故假设不成立， 即不存在某个位置，使，故C错误； 由与，且, 可得平面平面，平面,故平面， 可得正确； 故选：ABD 变式2：已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为______． 【解析】 易得，又面面CDEF，面ABCD面CDEF，又面，则面CDEF， 又面CDEF，则，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则， 又， 同理可得，设面DBN的法向量为， 则，令，则，又， 又面DBN，则，解得. 故答案为：3. 考点二 翻折后角度的计算 翻折后首先要确定线段的长度与角度中不变的量，再计算变化的量，其次确定关键点的位置。 【例2-1】如图把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后∠EOF的大小． 【解析】如图，以OB，OC，OD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O­xyz. 设原正方形的边长为1，则 E，F， cos〈，〉＝＝－＝－， ∴∠EOF＝120°. 【例2-2】如图(1)，平面四边形ABCD中，CD＝4，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，如图(2)，平面PBD⊥平面BCD，E为PD中点． (1)求证：PD⊥CE； (2)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值． 【解析】(1)证明：由题意△ABD为等边三角形，则BD＝2， 在三角形BCD中，CD＝4，∠BCD＝30°， 由余弦定理可