12.2 角平分线的性质（同步讲义）-2022-2023学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

12.2角平分线的性质 同步教材划重点 知识点01角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 【点石成金】 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 知识点02角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【点石成金】 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 知识点03角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC. 射线OC即为所求. 知识点04三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 【典例分析】 【典例1】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN． 【点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【解析】 证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN． 【总结】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP． （1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM； （2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED． 【点拨】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可； （2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可． 【解析】 证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图， ∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P， ∴PQ=PT，PS=PT， ∴PQ=PS， ∴AP平分∠DAC， 即PA平分∠BAC的外角∠CAM； （2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM， ∴∠DAE=∠CAE， ∵CE⊥AP， ∴∠AED=∠AEC=90°， 在△AED和△AEC中 ∴△AED≌△AEC， ∴CE=ED． 【总结】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【变式1-2】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（ ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 【答案】 B； 【解析】 解： 过D点作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC ∴DF＝DH 在Rt△EDF和Rt△GDH中 DE＝DG，DF＝DH ∴Rt△EDF≌Rt△GDH 同理可证Rt△ADF和Rt△ADH ∴ ∴＝50－39＝11， ∴△EDF的面积为5.5 【总结】本题求△EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG和△AED的面积来表示△EDF面积. 【变式1-3】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【点拨】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P到BC的距离. 【解析】 解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选C． 【总结】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性