12.2 角平分线的性质（分层训练）-2022-2023学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

12.2角平分线的性质 分层训练提分要义 【基础题】 1．如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（       ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解析】 【分析】 过点A作AG⊥BC交于G，交CD于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点，当A、P、G三点共线时，AP+PQ的值最小，求出AG的长即为所求． 【详解】 解：过点A作AG⊥BC交于G，交CD于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴PG=PQ， ∴PA+PQ=AP+PG≥AG， ∴当A、P、G三点共线时，AP+PQ的值最小， ∵BC=10，△ABC的面积为24， ∴AG=， ∴AP+PQ的最小值为， 故选：C． 【点睛】 本题考查最短距离的求法，熟练掌握角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键． 2．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（       ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【解析】 【分析】 过点D作于点F．由题意易证，即得出，说明AD为的角平分线，即可求出的大小，从而可求出的大小． 【详解】 如图，过点D作于点F． ∴在和中， ∴， ∴， ∴AD为的角平分线， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】 本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理．作出常用的辅助线是解题关键． 3．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G．有下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】 【分析】 ①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论； ②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论； ③根据线段垂直平分线的性质即可得结果； ④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】 解：①∵AP平分∠BAC， ∴∠CAP＝∠BAP， ∵PG∥AD， ∴∠APG＝∠CAP， ∴∠APG＝∠BAP， ∴GA＝GP； ②∵AP平分∠BAC， ∴P到AC，AB的距离相等， ∴S△PAC：S△PAB＝AC：AB， ③∵BE＝BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE（三线合一）， ④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上， ∴∠DCP＝∠BCP， 又∵PG∥AD， ∴∠FPC＝∠DCP， ∴∠FPC＝∠BCP， ∴FP＝FC， 故①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，根据角平分线的性质和平行线的性质解答是解题的关键． 4．如图是“一带一路”示意图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地，分别连接、、，形成一个三角形．若想在三角形内部建立一个货物中转仓，使其到边、、的距离相等，则中转仓的位置应选在（       ） A．三条中线的交点处 B．三条高所在直线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边的垂直平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角平分线的性质即可判断． 【详解】 解：三角形的三个角的角平分线的交点到三边的距离相等， 故选：C． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的到角两边的距离相等是解题的关键． 5．如图，在中，是的角平分线，于，，分别是边，上的点，连接，，若，和的面积分别为50和15，则的面积为（       ） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】C 【解析】 【分析】 过点D作于点H，根据角平分线的性质可得出DH=DE．结合题意即易证，即得出，从而可求出．又易证，即得出，从而由，即可求出答案． 【详解】 如图，过点D作于点H， ∵CD是的平分线，DE⊥BC， ∴DH=DE． ∵DF=DG， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键． 6．如图，，M是BC的中点，AM平分，且，则的度数是（　　　）． A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【解析】 【分析】 过M作MN⊥AD于N，证Rt△MND≌Rt△MCD（HL），得∠NDM＝∠CDM＝55°，再证CDAB，得∠BAD＝70°，则∠BAM＝35°，即可得出答案． 【详解】 解：过M作MN⊥AD于N 则∠MNA＝∠MND＝90° ∵∠B＝90° ∴MB⊥AB ∵AM平分∠BAD ∴MN＝MB ∵M为是BC的中点 ∴MB＝MC ∴MN＝M