4.5.1 函数的零点与方程的解-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数的零点与方程的解 1函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 注 零点是个数，不是个点. 【例】函数的零点是 . 解 方程的解是函数的零点是. (2) 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 如 方程的实数根是， 函数与轴的交点横坐标是， 函数的零点是，而不是. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 【例】 研究方程的解. 解 方程的实数根函数与函数的交点横坐标， 如图较容易得到，方程实数根有个. (3)求函数零点方法 ① (代数法) 求方程的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 2函数零点存在定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【例】研究函数在上的零点个数. 解 是连续函数，且， 由函数零点存在定理可得，在上至少存在一个零点， 而函数 在又是增函数， 故函数在上只有一个零点. 【题型1】求(或判断)函数的零点 【典题1】 下列函数中只有一个零点的是(　　) 解析 方法1 解方程 对于，方程无解，即函数无零点； 对于，方程，解得或，即函数有个零点； 对于，方程，解得，即函数只有个零点； 对于，方程，解得， 即函数有个零点. 故选. 方法2 图象法 画出个函数的图象如下 故选. 点拨 求函数零点方法 ① 代数法：求方程的实数根. ② 几何法：利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 【典题2】 函数的零点的情况是(　　) ．仅有一个或个零点 ．有两个正零点 ．有一正零点和一负零点 ．有两个负零点 解析 函数的零点的情况 等价于方程的解的情况 等价于方程的解的情况 等价于函数与的交点的情况， 作函数与的图象如下， 函数与的图象有两个交点，且在y轴的两侧， 故选：． 点拨 1.方程与函数的关系 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 2.对于该题型，需要提高构造函数的技巧. 【巩固练习】 1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1) ；(2) ． 答案 （1） （2） 解析 (1)令，解得．故函数的零点是； (2)令，即，解得． 故函数的零点是． 2.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是(　　) ． 答案 解析 对于，的对称轴为轴，故是偶函数， 令得，所以的零点为．不符合题意． 对于，的定义域为，不关于原点对称， 故不是偶函数，不符合题意． 对于，的定义域为，不关于原点对称， 故不是偶函数，不符合题意． 对于，，故是偶函数， 令，方程无解．即无零点． 故选：． 3.已知函数，则函数的零点个数是 . 答案 解析 因为函数， 且时； 所以的图象如图， 由图可得：与只有两个交点；即函数的零点个数是. 4.函数的零点的个数是 . 答案 解析 在同一坐标系中画出函数与的图象如图所示， 因为函数与的图象有两个交点， 所以函数的零点个数为． 【题型2】函数零点存在定理的应用 【典题1】 函数的零点所在的区间为(　　) 解析 ，， ，， ，的所在区间为． 故选：． 点拨 利用函数零点存在定理求解，主要是判断函数值的正负. 【典题2】已知关于的方程的两个实数根满足， ，则实数的取值范围是 . 解析 方程的两个实数根可看作函数的零点， 方程的根满足， 即函数的零点满足， 根据零点判定定理得，，即， 化简得，解得， 实数的取值范围是． 点拨 这是二次函数零点的分布问题，主要是结合函数图象利用函数的零点存在定理求解. 【巩固练习】 1.若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同时在区间，，内，则与符号相同的是(　　) 答案 解析 因为函数有唯一零点，且根据题意可知函数的零点在上， 又因为零点左侧的函数值同号，零点右侧的函数值同号， 所以与符号相同的只能是，故选：． 2.[多选]函数的一个正零点所在的区间不可能是(　　) 答案 解析 函数，把代入， 若，则零点在，，， ，，， 所以，， 所以函数的零点在， 故选：． 3.若函数的零点在区间上，则的值为(　　) 或 或 答案 解析 ，，， 函数的零点在之间， 函数的零点在区间上，， 又与在有交点， 的值为或．故选． 4.已知是实数，函数在区间与上各有一个零点，则的取值范围是　 　． 答案 解析 函数在区间与上各有一个零点， ，解得． 故答案为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科