4.4 对数函数-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

对数函数 1 对数函数 (1)对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 解释 函数中系数为，底数是不为正实数的常数，真数为变量. 【例】判断下列函数是否为对数函数: (1) (2) (3) (4) 解 (1)不是，对数式后加了；(2)不是，真数不是；(3)不是，系数不为；(4)是. (2)图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习. 【例1】画出函数和的图象，说下他们的函数性质. 解 ：定义域是，值域是，在上递增，非奇非偶函数; ：定义域是，值域是，在上递减，非奇非偶函数. 与关于轴对称. 【例2】已知图中曲线分别是函数，，，的图象，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 解 由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用结合图象求解． 3 对数型函数模型 形如，且；，且)的函数称为对数型函数． 4 反函数 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 比如 与互为反函数. 【题型1】对数函数的概念 【典题1】 已知对数函数的图象经过点，试求的值． 解析 设且， 对数函数的图象经过点，．． , ． . 点拨 待定系数法求函数解析式. 【巩固练习】 1.已知，则 . 答案 解析 令，则，所以，即．所以． 2.函数的定义域是 . 答案 或 解析 由,解得或，故答案是或. 【题型2】对数函数的图象 【典题1】 若函数的图象如图，其中为常数．则函数的大致图象是(　　) ． ． ． ． 解析 由函数的图象为减函数可知， 的图象由向左平移可知， 故函数的大致图象是，故选. 点拨 函数图象的平移变换：左加右减，上加下减. 【典题2】已知函数，下列命题中所有正确的序号是　 　． (1)函数的定义域和值域均为； (2)函数在单调递减，在单调递增； (3)函数的图象关于轴对称； (4)函数为偶函数； (5)若，则或． 解析 函数，故有，， 故定义域为，故(1)不正确． 由函数在单调递减，在单调递增，可得 函数在单调递减，在单调递增，故(2)正确． 由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故(3)不正确． 由于函数，其图象关于轴对称，故是偶函数，故(4)正确． 由，则有，故， 或， 或，故(5)正确， 故答案为(2)(4)(5)． 点拨 函数图象的对称变换 ① 函数函数； ② 函数函数； 函数图象的翻折变换 ① 函数函数； ② 函数函数. 【巩固练习】 1.已知，函数与函数的图象可能是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 ，则 从而， 函数与函数的单调性是在定义域内同增同减 结合选项可知选. 2.函数的图象大致是(　　) ． ． ． ． 答案 解析 先画，然后将的图象向左平移1个单位得， 再保留图象在轴的右边的图象， 轴左边的图象与之对称即得到函数的大致图象． 故选． 3.函数的大致图象是(　　) ． ． ． ． 答案 解析 函数， 当时，的图象是函数的图象向左平移个单位得到的； 当时，的图象与函数的图象关于直线对称， 函数的大致图象是． 【题型3】对数函数的应用 角度1 比较指数式的大小 【典题1】 已知，则(　　) 解析 ，，， ，． 故选：． 点拨 比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有 ① 把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小； ② 若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与，比较大小； ③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡. 角度2 解不等式 【典题1】 设函数则满足的的取值范围是( ) A． B． C． D． 解析 由或， 满足的的取值范围是，故选． 点拨 利用对数函数的单调性求解不等式，同时要注意函数的定义域. 角度3 值域 【典题1】 已知，，求的最大值及相应的． 解析 ，， 且定义域为． 令． 在区间上是增函数，． 从而要求在区间上的最大值， 只需求在区间上的最大值即可． 在上是增函数， 当，即时，． 综上可知，当时，的最大值为． 【巩固练习】 1.比较下列各组中两个值的大小． (1)，；(2)，； 答案 (1) (2) 解析 (1)因为函数在上是增函数， 所以．所以． (2)因为，，所以． 2.解下列不等式； 答案 解析 由已知，得，解得． 所以原不等式的解集是． 3.若关于的方程在区间上有解，