4.3 对数-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

对数 1对数的概念 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样. 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 2 对数的运算性质 如果，，，有 ① ② ③ ④ (每条等式均可证明) 比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系 指数 对数 特别注意：，. 【例1】证明. 证明 设，，则， ，. 【例2】计算 (1) ；(2) ；(3) 已知，，求． 解 (1)； (2)； (3) . 3 换底公式 (1)公式 (2)公式推导 设，则， ，，. (3)推论 ① ② ③ 证明 ① ； ② ； ③ . 【例】求的值. 解 . 【题型1】对数式与指数式的互换 【典题1】 求下列各式中的值： (1) ； (2) ． 解析 (1)，．． (2) ． 点拨 利用对数式与指数式的互换求值. 【巩固练习】 1.完成下表指数式与对数式的转换． 题号 指数式 对数式 (1) (2) (3) 答案 (1) (2) (3) ． 解析 (1) ． (2) ． (3) ． 2.求下列各式中的值： (1) ； (2) ． 答案 (1) (2) 解析 (1) ． (2) 即． 【题型2】对数的化简、求值问题 【典题1】化简求值 (1) ； (2) ； (3) ． 解析 (1) (观察式子对数以为底，利用把系数提上) (对数系数为，利用同底对数加减公式) ． (2) (公式，的应用) . (本题利用(1)问的方法是否？) (3) (观察底数和与和，底数化为，根式化为幂的形式) (换底公式的逆用) () ． 点拨 对于对数的化简与运算，要对对数运算公式很熟悉，同时注意对公式的逆用.一般常见的技巧是①化为同底；②收：将同底数的对数和、差合成积、商的对数，如，本题中(1)问；③拆：将积、商的对数拆成对数的和、差，如，本题中(2)问. 【巩固练习】 1.已知函数，则 . 答案 解析 ，．则． 2.若，则　　(用表示) 答案 解析 由，，得， 所以 ． 3.=　 　． 答案 解析 . 4.计算：　 　． 答案 解析 原式． 【题型3】条件求值问题 【典题1】 已知，求的值． 解析 方法1 由，得， 故． 方法2 由， 两边取对数，得， 即． 于是，． 点拨 对于形如指数为变量的方程，常用对数式与指数式的互换求其值；对于如含幂形式的等式，求其指数，两边取对数的技巧也是常用的. 【典题2】 已知，，则　　． 解析 ，，， ，， ，解得． 【巩固练习】 1.设都是正数，且，那么(　　) ． ． ． ． 答案 解析 由都是正数，且， 则代入到中，左边， 而右边， 左边等于右边，正确； 代入到中不相等．故选． 2.已知，求 (用表示)． 答案 解析 (方法一) ， ． 于是 ． (方法二) ，且， ． ． 3.若实数满足：且，则　　． 答案 或 解析 由，得， 由，得， ， 或， 即或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 对数 1对数的概念 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样. 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 2 对数的运算性质 如果，，，有 ① ② ③ ④ (每条等式均可证明) 比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系 指数 对数 特别注意：，. 【例1】证明. 【例2】计算 (1) ；(2) ；(3) 已知，，求． 3 换底公式 (1)公式 (2)公式推导 设，则， ，，. (3)推论 ① ② ③ 证明 ① ； ② ； ③ . 【例】求的值. 【题型1】对数式与指数式的互换 【典题1】