3.2 双曲线-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

双曲线 1 定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，是双曲线上一点，|. PS 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 3 一些常用结论 ①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为； ②焦点到渐近线的距离是； ③焦点三角形面积； ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤焦半径，(点在双曲线右支上) ⑥双曲线的参数方程. 【题型一】双曲线的定义 【典题1】 平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹是(　　) A．椭圆 B． C． D． 【解析】由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支， 故选：． 【点拨】 ① 注意双曲线的定义中“绝对值”三字； ② 若点在右支，肯定； 若点在左支，肯定； 故题中的条件改为，则是双曲线左支；改为，则是双曲线. 【典题2】 一动圆过定点，且与已知圆：相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【解析】动圆圆心为，半径为，已知圆圆心为，半径为； 由题意知：，，所以， 即动点到两定点的距离之差为常数， 在以为焦点的双曲线上，且，， ，动圆圆心的轨迹方程为：． 【点拨】 ① 两圆的半径分别为,若两圆外切，则；若两圆外切，则； ② 双曲线定义中的“常数”为，定点为焦点. 巩固练习 1(★) 平面内到两定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹(　　) A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 【答案】 【解析】根据双曲线的定义，，且， 点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，且焦距为． 故选：D． 2(★★) 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线 【答案】 【解析】排除法：设动点为， 1．当点在圆内不与圆心重合，连接并延长，交于圆上一点，由题意知， 又，所以，即的轨迹为一椭圆；如图． 2．如果是点在圆外，由，得，为一定值，即的轨迹为双曲线的一支； 3．当点与圆心重合，要使，则必然在与圆的同心圆，即的轨迹为一圆； 则本题选． 【题型二】双曲线方程 【典题1】已知方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则的求值范围是 . 【解析】方程1表示焦点在轴上的双曲线， 可得，，解得. 【点拨】 曲线方程， 当时，为双曲线； 当时，为焦点在轴上的双曲线且； 当时，为焦点在轴上的双曲线且. 简而言之：双曲线,看分母正负. 【典题2】双曲线过点、，则双曲线的标准方程为　 　． 【解析】方法一 当双曲线焦点在轴上，设方程为， 则双曲线的标准方程为． 当双曲线焦点在轴上，设方程为， 则此方程组无解； 双曲线的标准方程为． 方法二 由题意，设双曲线方程为， 代入点， 得，解得． 双曲线的标准方程为． 【点拨】求双曲线的方法，可用待定系数法，方法一考虑到焦点的位置作分类讨论求解，方法二则简洁些，设双曲线方程为. 【典题3】 与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线标准方程是 . 【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为， 又由双曲线经过点， 则有，解可得， 则要求双曲线的标准方程为. 【点拨】 ① 求双曲线渐近线的一种方法， 比如求的渐近线，直接令, 该方法不需要确定焦点位置与值. ② 与双曲线共渐近线的方程为； 巩固练习 1(★) 若，则是方程1表示双曲线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】方程1表示双曲线， 可得，解得：， 方程1表示双曲线，可知，反之不成立， 所以，则是方程表示双曲线的必要不充分条件． 故选：． 2(★★) 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】解法1：根据题意知，，所以点在渐近线方程的右下方， 所以该双曲线的焦点在轴上，设标准方程为，且； 又，所以； 又1，即1， 解得，， 所以双曲线的标准方程是． 解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是，代入点(4，4)， 计算得，所以双曲线的标准方程为，即1． 故选：A． 3(★★) 在下列条件下求双曲线