3.1 椭圆-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

椭圆 1 定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 3 一些常见结论 ① 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为； ② 最大角，是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，为最大角； ③ 焦点三角形面积； ④ 焦半径，； ⑤ 椭圆的参数方程.   【题型一】椭圆的定义 【典题1】 设定点动点满足条件，则点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【解析】由题意得 所以 当且仅当时取等号，此时则 因为定点、，所以 当|时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹是以、为焦点的椭圆; 故选：． 【点拨】注意椭圆定义的常数要大于两定点距离. 【典题2】 如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为．若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线的一支 【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线． 故可知动点P的轨迹是椭圆的一部分． 故选：． 巩固练习 1(★) 设为定点，动点满足则动点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】 【解析】若点与，可以构成一个三角形，则， ，动点满足， 点在线段上． 故选：． 2(★★) 在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】正方体的棱长为, 点是以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭球上， 在正方体的棱上 应是椭圆与正方体的棱的交点 结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱上各有一点满足条件 故选：B． 【题型二】椭圆方程 【典题1】 已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为　 　． 【解析】椭圆方程化为(化为标准式) 由于椭圆的焦点在轴上，则 即 故答案为：. 【点拨】 曲线方程 当且时为椭圆(若那就是圆了)； 当时为焦点在轴上的椭圆且； 当时为焦点在轴上的椭圆且. 简而言之：看分母大小. 【典题2】经过两点的椭圆的标准方程为　 　. 【解析】由题意，设椭圆的方程为1，（待定系数法） 则解得． 椭圆的标准方程为1． 【点拨】过两个点的椭圆设为可避免对焦点在轴还是轴的分类讨论. 【典题3】 已知是椭圆的右焦点，且过点则椭圆的标准方程为　　． 【解析】 方法一 已知是椭圆的右焦点，且过点， 可得解得 (这里求可“猜”，由可猜或等，若解方程计算量较大) 所以所求椭圆方程为：． 方法二 依题意可知，椭圆的两个焦点分别为， 由椭圆的定义，可知， 又; 所以所求椭圆方程为：． 【点拨】方法二利用椭圆的定义求解，计算量较小. 巩固练习 1(★) 已知方程1表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　 　． 【答案】(1) 【解析】方程1表示焦点在x轴上的椭圆， ，解得， 的取值范围是(1，)． 故答案为：(1，)． 2(★) 已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为　 　． 【答案】 或 【解析】，且△ABC的周长等于16， ，故顶点的轨迹是以为焦点的椭圆，除去与轴的交点， ，， ，故顶点的轨迹方程为或． 故答案为：或． 3(★) 焦点在轴上，焦距等于且经过点的椭圆标准方程是　　． 【答案】 【解析】由椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为 焦距等于，且椭圆经过点． ，解之得，(舍负) 因此，椭圆的标准方程为． 故答案为： 【题型三】椭圆的图像及其性质 【典题1】 (多选题)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和半焦距分别为和离心率分别为则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． E．椭圆Ⅱ比椭圆I更扁 【解析】由题图知 对于正确；故正确； 对于由图可知；故正确； 对于故不正确； 对于，由图知； ；；；故正确； 对于；椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁；故不正确； 故选：． 【点拨】由于，结合图象可知椭圆的离心率越大，就越小，则椭圆就越扁. 【典题2】 如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点为上一点，满足且则椭圆的方程为