专题3-3 圆锥曲线最值问题-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

圆锥曲线最值问题 1 常见的几何模型 ① 圆外点到圆上点的距离 圆外一点与圆上一点的距离最小值是，最大值是圆的半径. ② 圆上点到圆外直线的距离 圆上一动点到圆外一定直线的距离最小值是，最大值是圆的半径，是圆心到直线的距离； ③三点共线模型 一动点到两定点的距离分别为， 当共线，且点在之间时，取到最小值； 当共线，且点在同侧时，取到最大值； 其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ④ 将军饮马模型 点在直线同侧，点在直线上，那； ⑤垂线段最值模型 点是内外的一点，点在上，与点到射线的距离之和为． (1) 点是外， (2) 点是内， ⑥ 胡不归模型 如图，求，构造射线，使得角度，则，问题转化为“垂线段模型”，则. ⑦ 阿氏圆模型 如图，圆半径是，点在圆外，点是圆上一动点，已知，求的最小值. 在线段上截取，则，即， 则的最小值转化为的最小值，当然是，即. 2最值问题常见处理方法 ① 几何法 通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型. ② 代数法 理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值. 【方法一】几何法 【典题1】 已知椭圆：内有一点为椭圆的左、右焦点为椭圆上的一点，求： 的最大值与最小值；的最大值与最小值． 【解析】(1)由椭圆：1可知 则 则当且仅当三点共线时成立， 所以 所以的最大值与最小值分别为和； (2) 设是椭圆上任一点，由， 等号仅当时成立，此时共线， 由， 等号仅当时成立，此时共线， 故的最大值与最小值为． 【点拨】本题采取几何法，通过三点共线模型与椭圆的定义进行求解. 【典题2】 设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则　 ． 【解析】如图所示， 过点作垂直于直线，垂足为点， 由抛物线的定义可得， 所以点到直线的距离为， 所以 (三点共线模型) 当且仅当三点共线时，取到最小值，即． 如图所示， 过点作直线垂直于直线，垂足为点， 由抛物线的定义可得 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立，即， (垂线段最值模型) 因此． 【点拨】 ① 本题采取几何法，通过几何模型与抛物线的定义进行求解； ② 处理抛物线类似的题目，注意点在抛物线之内还是之外，比如本题点在抛物线外，点在抛物线内. 【典题3】已知双曲线方程为如图，点的坐标为是圆上的点，点在双曲线的右支上，求的最小值． 【解析】设点的坐标为0)，则点是双曲线的焦点， 由双曲线的定义，得． ， (此时相当于把点看成“定点”看待，当三点共线时取到最小值，这是处理两动点的常规方法) 又是圆上的点，圆心为 半径为，故， 从而， 当点在线段上时取等号，即的最小值为． 【点拨】本题眨眼一看，存在两动点，有些头疼.题中通过双曲线的定义把的最小值转化为最小值问题，这就是圆外一点到圆上最短距离问题，即.注意两动点最值问题处理的方式. 【典题4】 椭圆上的点到直线的距离的最大值为 . 【解析】 设与直线平行的直线与椭圆相切， 由得， 由得 设直线与直线的距离为， 当时； 当时. 椭圆1上的点到直线的距离的最大值为. 【点拨】通过观察，可知与直线平行且与椭圆相切的直线与椭圆的切点即是取到最小距离的点，最小距离为两平行线的距离. 【方法二】代数法 【典题1】 求点到椭圆上的点之间的最短距离． 【解析】设椭圆上的点，其中， 则 (曲线消元) 设，其对称轴为， (构造函数，问题转化为二次函数定区间动轴最值问题) ① 当，即时，在上递增， 则，即的最小值为； ②当，即时，在上先递减再递增， 则，即的最小值为； ③当，即时，在上递减， 则，即的最小值为； 综上，当时，最小为|； 时，最小为； 时，最小为． 【点拨】 ① 两点距离往往用两点距离公式表示； ② 本题把求距离最值问题转化为函数的最值问题，函数问题优先讨论定义域，函数含有参数，则按照“二次函数动轴定区间最值问题”的解题套路根据对称轴与区间的相对位置进行分类讨论； ③ 本题还是利用椭圆的参数方程，设椭圆上点，从而构造函数进行分析，相当引入变量表示，而解析中是引入变量. 【典题2】 已知椭圆：的左右焦点分别为，左顶点为离心率为点是椭圆上的动点的面积的最大值为． 求椭圆的方程； 设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点线段的中垂线为．若直线与直线相交于点与直线相交于点求的最小值． 【解析】过程略，椭圆的方程为． (采取代数法，思路很直接，引入变量表示再