专题3-2 圆锥曲线中的三角形面积-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

圆锥曲线中的三角形面积 圆锥曲线中三角形面积的求法 ① 焦点三角形面积 椭圆的焦点三角形面积， 双曲线的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上). ② 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例) ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些， 如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) ，适合边角已知的题型； 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型； 情况1如图，点在轴上，直线交轴于点， 当是在轴异侧时， 当是在轴同侧时， 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立. 若点在轴类似可得. 情况2 如图，点在轴上，直线的倾斜角为， 当是在轴异侧时， . 当是在轴同侧时， . 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.(点在轴类似) 【典题1】设双曲线：的左、右焦点分别为是上一点， 且．若的面积为，则离心率 . 【解析】方法一 由题意可知， 设，可得 的面积为 (遇到焦点三角形，想到定义和解三角形的内容) . 方法二 由双曲线焦点三角形面积公式，(椭圆焦点三角形面积公式) 由题意可知， 又，， . 【典题2】已知直线与双曲线:的两条渐近线分别交于 两点，且，若且的面积为则的离心率为 . 【解析】 ， 故∠又直线方程为 即， . 【点拨】本题对“”的处理是用数量积的定义得到， 而比较合理. 【典题3】已知双曲线的离心率为焦点到渐近线的距离等于过右焦点 的直线交双曲线于两点为左焦点． 求双曲线的方程； 若的面积等于求直线的方程． 【解析】过程略，. 方法一 设 当直线的斜率不存在，则直线的方程， 此时易得， 故可设直线的方程为， 由得， 有两个交点且， 到直线的距离， 的面积， (利用三角形面积公式) 解得 所以直线的方程为． 方法二 设 同方法一可得：且 ， 的面积， (由于点在轴，利用) 化简得解之得， 得直线的方程为. 【点拨】 ① 注意分类讨论直线的斜率是否存在； ② 因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式是否大于0，但要注意； ③ 第二问方法一是利用三角形面积公式，得，其中以弦长为底，点到直线的距离为高；方法二利用分拆三角形的方法得，此时要理解“不管是在轴同侧还是异侧，公式依然成立”. 【典题4】过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，交其准线于点，且． 求抛物线的方程； 直线交抛物线于两点，且这两点位于轴两侧，与轴交于点若•求的最小值． 【解析】(1)过点作抛物线准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， 设准线与轴交于点，如图所示， ， ，又点为的中点， ， ，， 所以抛物线的方程为．(注意抛物线定义和平几知识的运用) (2)设 设， ：，(这样设方程计算简便些) 联立得方程组 得 ， ， ， (曲线代换：利用抛物线方程消“”) (舍去)或， 即， ， (当且仅当即时，取到等号) 的最小值为． 【点拨】在抛物线上设直线方程为：较为常见，同时也配合上三角形面积. 【典题5】 已知是椭圆的左，右顶点，，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于点，交直线于点，且直线的斜率成等差数列，和是椭圆上的两动点，和的横坐标之和为的中垂线交轴于点 求椭圆的方程；求的面积的最大值. 【解析】由题意知，设， 依题意可知，解得， 椭圆的方程. 设， 和的横坐标之和为， ， 、均在椭圆上，①② (点差法) ①②得 ， 设，由中垂线性质得，即， 化简得， ， 即. 设， 直线与椭圆联立可得， ， (因为直线过椭圆内一点，故可取全体实数，不需要考虑判别式) ， 令，(使用换元法降次，化难为简，函数思想注意自变量的取值范围) 则 在是递增的，， (由对勾函数图像易得，由于不能用基本不等式) ，即， 故. 【点拨】 ① “和的横坐标之和为”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线方程导致计算量增大； ② 本题最重要的想法是求的面积，用到了公式，同时设直线方程为，联立方程时消得到的一元二次方程较易得到的表达式，大大减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论； ④ 求函数形如最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意自变量的取值范围，这是常考的题型. 巩固练习 1(★★) 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于 . 【答案】 【解析】由，且， 在中，∠ 2(★★) 过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线的渐近线于点为坐标原点，则的面积为 . 【答案】 【解析】不妨设点在第一象限，点在第四象限，因为∠ 双曲线的渐近线方程：， 所以∠，所以， 所以，所以． 又，则，所以所以， 从而的面积为：． 故选：C． 3 (★★) 抛物线：的焦点为为准线上一点，为轴上一点，且，若线段的中点在抛物线上，