专题3-1 直线与圆锥曲线-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册)

直线与圆锥曲线 1 直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) (2) 抛物线的焦点弦长 为弦所在直线的倾斜角.(其他形式的抛物线类似) 3 中点弦 ① 涉及到中点弦问题可用点差法求解，在处理双曲线的中点弦问题要注意检验！ ②“点差法”的常见题型：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．   【题型一】直线与圆锥曲线的位置关系 【典题1】不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是 . 【解析】方法一 把直线代入椭圆1， 化为．其中．(注意这个坑) 直线与椭圆1有公共点， 恒成立． 化为．上式对于任意实数都成立，，解得． 实数的范围是． 方法二 从所给含参直线入手可知直线过定点 所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上， 所以代入后即 因为是椭圆，所以 故的取值范围是． 【点拨】判断直线与圆锥曲线的位置关系，通法是联立直线方程与圆锥曲线方程，确定判别式与的大小关系；也可以通过几何的方法，若直线过圆锥曲线内一点则它们肯定相交. 【典题2】 若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【解析】(注意“右支”的限制) 由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为， 设交点， 联立可得， 由题意可得 解得：，故选：． 【点拨】 ① 当直线与双曲线左支交于两点; 当直线与双曲线右支交于两点. ② 注意二次项系数不为，若，则方程为一元一次方程，只有一个解，从图象来看与渐近线斜率相等，也可知只有一个交点. ③ 本题是选择题，从几何的角度也可很快选到. 【典题3】 已知双曲线过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程． 【解析】双曲线的渐近线方程为， ①直线与双曲线只有一个公共点； ②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点， 方程为，即或； ③设过的直线方程为 ) 由得 只有一个交点，即，解得 此时直线方程为，即． 故直线的方程为或或或． 【点拨】从几何的角度看，直线与双曲线的位置关系与渐近线有关， (1) 当点在双曲线上或内， 当或时，只有个交点；当时，只有个交点； (2) 当点在双曲线外， 当或时，只有或个交点；当或时，只有或个交点； 当或时，只有个交点. 做题时注意特殊情况：斜率不存在的直线. 【典题4】 椭圆上的点到直线的距离的最大值为 . 【解析】方法一 几何法 设与直线平行的直线与椭圆相切， 由得， 由得， 设直线与直线的距离为， 当时，; 当时，. 椭圆1上的点到直线的距离的最大值为. 方法二 函数法 椭圆的参数方程为为参数， 设椭圆上的动点，则点到直线距离 其中 ． 椭圆1上的点到直线的距离的最大值为：． 【点拨】 ① 几何法，圆锥曲线上的点到与相离直线最短距离等于直线与其一平行且相切的直线距离; ② 函数法，利用了椭圆的参数方程. 巩固练习 1(★) 直线和曲线的位置关系为 . 【答案】 相交 【解析】曲线为：可得 直线恒过，定点在椭圆内部， 所以直线与椭圆的位置关系为相交； 2(★) 双曲线与直线交点的个数为 . 【解析】联立方程可得消可得， 即，故， 故方程组有且只有一组解， 故双曲线与直线有且只有一个交点. 3(★★) 直线与双曲线没有交点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】双曲线的渐近线方程为：， 根据双曲线的性质可知直线与双曲线没有交点，满足． 4(★★) 已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设与直线平行且与抛物线相切的直线为， 则的最小值即为两直线间的距离， 所以消去，得， 进而可得直线与抛物线交点为 交点到直线的距离为． 5(★★) 椭圆：上的点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】设点的坐标为，其中， 则点到直线的距离 其中， 当时，等号成立． 取得最小值． 【题型二】弦长问题 【典题1】 已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点． 求椭圆的标准方程；当求此时直线的方程； 【解析】过程略