5.2.1　三角函数的概念-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

第五章 三角函数 5.2　三角函数的概念 5.2.1　三角函数的概念 课程标准 核心素养 借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 通过对三角函数概念的学习，提升“直观想象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. 栏目索引 课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结 课前自主预习 知识点　三角函数的定义 纵坐标y 横坐标x [微体验] 1．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝_________，cos α＝__________，tan α＝__________. 解析　当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0. 答案　0 －1　0 课堂互动探究 探究一　已知角的终边上一点求三角函数值 探究二　已知角α终边所在直线求三角函数值 [跟踪训练2]　已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α＋cos α的值． 探究三　含参数的三角函数定义问题 [方法总结] 当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 1．任意角的三角函数定义 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(或坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定． 2．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误． 随堂本课小结 本课结束 1．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)． (1)把点P的______________叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； (2)把点P的______________叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； (3)把点P的纵坐标与横坐标的比值________叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)．它是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． eq \f(y,x) 2．将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R； 余弦函数y＝cos x，x∈R； 正弦函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)． 3．一般地，设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P(x，y)(不与原点重合)，点P到原点的距离是r，则由相似三角形性质知：sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x). 2．已知角α的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则sin α＝______，cos α＝________，tan α＝________. 解析　因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝1，所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－eq \f(1,2)，cos α＝－eq \f(\r(3),2)，tan α＝eq \f(\r(3),3). 答案　－eq \f(1,2)　－eq \f(\r(3),2)　eq \f(\r(3),3) 例1 (1)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(3,5)，则tan α＝________. (2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 解析　(1)由题意，设点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,5)))，所以x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝1，解得x＝eq \f(4,5)或－eq \f(4,5). 当x＝eq \f(4,5)时，角α在第一象限，tan α＝eq \f(\f(3,5),\f(4,5))＝eq \f(3,4)； 当x＝－eq \f(4,5)时，角α在第二象限，tan α＝eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(3,4). (2)∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq \r(52＋(－12)2)＝13， 则sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(12,13)，cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(5,13)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq