3.3　幂函数-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

3.3　幂函数 第三章 函数的概念与性质 课程标准 核心素养 通过具体实例，结合图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 通过对幂函数的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. 栏目索引 课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结 课前自主预习 一般地，函数______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． [微思考] 幂函数解析式的结构特征是什么？ 提示 有四个特征：(1)指数为常数；(2)底数是自变量，自变量的系数为1；(3)幂xα的系数为1；(4)只有1项． y＝xα 知识点1　幂函数概念 知识点2　五个幂函数的性质 {x|x≠0}　 [0，＋∞)　 [0，＋∞)　 {y|y≠0}　 奇　 偶　 奇　 非奇非偶　 奇　 增　 减　 增　 增　 减　 减　 [微思考] 幂函数的图象能经过第四象限吗？ 提示 不能. 在幂函数中，当x>0时，幂函数值大于0，故图象不经过第四象限． [微体验] 1．若幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上是增函数，则(　　) A．α＞0　 B．α＜0 C．α＝0　 D．不能确定 解析　根据幂函数的性质知，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)内恒为增函数． 答案　A 例1 函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数．试确定m的值． 解　根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1.解得m＝3或m＝－2. 当m＝3时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－2时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3. 课堂互动探究 探究一　幂函数的概念 [互动探究]　在本例中其他条件不变，只把“f(x)是增函数”改为“f(x)是减函数”，又如何确定m的值？ 解　根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1.解得m＝3或m＝－2. 当m＝3时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，不符合题意； 当m＝－2时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数． 故m＝－2. [方法总结] 求幂函数解析式的依据及常用方法 (1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． (2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α. 探究二　幂函数的图象及应用 探究三　幂函数性质的应用 [方法总结] 利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法 1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系． 随堂本课小结 3．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． (2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0，曲线下凸． 本课结束 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x eq \s\up10(\f(1,2)) y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) _________ 值域 R _____________ R __________ ___________ 奇偶性 ________ ________ ________ __________ ________ 单调性 增 在[0，＋∞) 上______， 在(－∞，0] 上______ ________ ________ 在(0，＋∞) 上______， 在(－∞，0) 上______ 2．函数y＝x eq \s\up10(\f(5,4)) 的图象是(　　) 答案　C 解析　∵函数y＝x eq \s\up10(\f(5,4)) 是非奇非偶函数，故排除A、B选项． 又eq \f(5,4)>1，故选C． 3．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 答案　A　 解析　因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1，eq \f(1,3)，1,3. 又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1. 解析　∵x－1＝eq \f(1,x)，eq \f(1,－x)＝－eq \f