3.2.2　第1课时　奇偶性的概念～3.2.2　第2课时　奇偶性的应用-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙

3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 第2课时　奇偶性的应用 第三章 函数的概念与性质 课程标准 核心素养 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义. 通过对函数奇偶性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. 栏目索引 课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结 课前自主预习 (1)偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有________，且_____________________，那么函数f(x)叫做偶函数． (2)奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有_________，且__________________，那么函数f(x)叫做奇函数． －x∈I　 知识点　奇偶性 f(－x)＝f(x)　 －x∈I　 f(－x)＝－f(x)　 [微思考] 具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示 定义域关于原点对称． [微体验] 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 解析　B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性． 答案　B 解析　f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性． 答案　C 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1　 B．0　　 C．1　 D．无法确定 解析　∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1. 答案　C 4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝__________. 解析　∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3. 答案　3 课堂互动探究 探究一　函数奇偶性的判断 [方法总结] 1．定义法判断函数的奇偶性 2．图象法判断函数的奇偶性 解　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 当x<0时，－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)． ∴f(x)是R上的奇函数． 例2 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 解　方法一：∵函数f(x)是偶函数， ∴其图象关于y轴对称，补全图象如图． 由图象可知f(1)＜f(3)． 方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)． 又函数y＝f(x)是偶函数， ∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)． 探究二　奇、偶函数的图象及应用 [变式探究]　只将本例中的“偶”改为“奇”呢？ 解　方法一：∵函数f(x)是奇函数， ∴其图象关于原点对称，补全图象如图． 由图象可知f(1)＞f(3)． 方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)． 又函数y＝f(x)是奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)． ∴－f(1)＜－f(3)．∴f(1)＞f(3)． [方法总结] 奇、偶函数图象对称性的两大应用 应用一：巧作函数图象． (1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称． (2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题． 应用二：求函数最值、单调性问题． 函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程． 探究三　函数奇偶性的简单应用 (2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. 解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2， 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7. 答案　7 [变式探究]　把本例(2)的条件“f(－3)＝－3”换为“f(d)＝10”，求f(－d)的值． 解　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数， 所以f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8， 所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6. [方法总结] 利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a, b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解． [跟踪训练2]　(1)函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝_____