1.5.2　充要条件-(同课异构课件)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

1.4.2　充要条件 1.4　充分条件与必要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 栏目索引 课前自主预习 课堂互动探究 随堂本课小结 课前自主预习 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有____________，又有____________，就记作____________，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为__________条件． 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q__________________. p⇒q　 知识点　充要条件 q⇒p　 p⇔q　 充要　 互为充要条件　 [微体验] 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 解析　|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|. 答案　B 2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______． 解析　因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件． 答案　充要条件 3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)． (1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (2)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c. 课堂互动探究 探究一　充要条件的判断 (2)a、b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0　 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0　 D．a2＋b2＞0 解析　a2＋b2＞0，则a、b不同时为零；a、b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0. 答案　D [方法总结] 判断充要条件的解题思路以及注意事项 (1)思路： 充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样． (2)注意事项： ①在定义法中，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性； ②在推出法中，使用的是双向推出法，而不是单向推出法； ③在集合法中，判断的是两个集合互为子集，即判断两个集合相等． [跟踪训练1]　下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为______．(填序号) ①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ②p：|x|＞3，q：x2＞9. 解析　①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件． ②由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件． 答案　①② 例2 已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明　先证必要性：因为a＋b＝1， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2 ＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0. 所以必要性成立． 再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 探究二　充要条件的证明 [方法总结] 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论． [跟踪训练2]　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 1．充要条件的概念 既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系 (1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的必要不充分条件 (3)p是q的充分必要条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件 随堂本课小结 3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性，B⇒A证明了充分性；“A是B的充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性，B⇒A证明了必要性． 本课结束 解析　在(1)中，q⇒p，q 在(2)中，p⇔q，所以(2)中p是q的充要条件． 答案　(2) 例1 (1)“m＞eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的(　　) A．充分不必要条件　 B．充要条件 C．必要不充分条件　 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　方程x2＋x＋m＝0无实根⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞eq \f(1,4). 又因为ab≠0，所以a≠0且b≠0. 从而a2－ab＋b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2