第09讲 数形思想课--二次函数的图像与性质（一）-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第9讲 数形思想课--二次函数的图像与性质 （一） 模块一、二次函数的图象和性质方法技巧 理解并掌握二次函数的图象的形状(抛物线)、顶点(最高点或最低点)、开口方向(向上或向下)、对称轴等知识，运用数形结合思想解决问题. 01.开口方向、对称轴、顶点坐标及位置 例题精讲 【例1】(1)抛物线y＝2x²＋1的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；二次函数y＝－(x＋1)²﹣2的图象的开口方向是 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2). (2)抛物线y＝2x²＋1在x轴的 方；当x＞0时，图象自左向右逐渐 ，它的顶点是最低点；抛物线y＝－(x＋1)²﹣2，当x 时，它的图象在x轴的 ，顶点是 。 【解析】当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，y＝a(x﹣h)²＋k的顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线x＝h；当a＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a＜0时，抛物线的顶点为最高点。 02.抛物线的开口大小 例题精讲 【例2】如图，若抛物线y＝ax²与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是(　　) A.≤a≤1 B．≤a≤2 C.≤a≤1 D.≤a≤2 【解析】确定a的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D时，开口最小；抛物线经过点B时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a值分别2，，∴≤a≤2. 故选Ｄ． 【点评】|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。 【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝x²；②y＝－x²，③y＝－2x²的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① . 【解析】当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；当|a|越大，开口越小，当|a|越小，开口越大。故抛物线I的解析式为y＝－x²，抛物线Ⅱ的解析式为y＝﹣2x²；抛抛物线Ⅲ的解析式为y＝x².故填②③① 03.抛物线的对称性 例题精讲 【例4】抛物线y＝ax²＋bx＋5经过A(2,5).B(﹣1,2)两点。若点C在该抛物线上，则点C的坐标可能是(　　) A.(﹣2,0) B.(0.5,6.5) C.(3,2) D.(2,2) 【解析】抛物线经过(0，5)，A(2,5)，由对称性可知对称轴为直线x＝1，由对称性知点B(﹣1，2)关于对称轴的对称点为(3，2)，故选C. 举一反三 1. 已知二次函数y＝－x²＋1，其图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，该图象的顶点是最 点。 【答案】下；直线x=0；（0,1）；高 2.如图，点A1，A2，…，An。在抛物线y＝x²上，点B1，B2，.…，Bn。在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn。都为等腰直角三角形(点B0为坐标原点)，则△A2019 B2018 B2019的腰长等于(　　) A.2018 B.2019 C.2018 D.2019 【答案】选C 3.如图，抛物线y＝a(x﹣h)²＋k与x轴的一个交点A在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两个点)，顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是 . 【答案】﹣ ≤a≤－ 模块二、二次函数的增减性方法技巧 比较二次函数值的大小的方法： (1)代入比较法：若已知函数的解析式，则将几个点的横坐标分别代入，求出相应的函数值，再比较大小； (2)增减性比较法：当点在对称轴同侧时，直接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧时，利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再比较. (3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小。 01.运用增减性比较大小 例题精讲 【例1】若点A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2).C(3，y3)为二次函数y＝(x＋1)²＋k的图象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y3＜y2： 【解析】对称轴为直线x＝﹣1，点C(3，y1)关于直线x＝﹣1的对称点C’(﹣5，y3)，∵a＞0，﹣5＜﹣4＜﹣3，y2＜y1＜y3，应选B. 【例2】下列关于函数y＝(x﹣3)²＋1的四个命题：①当x＝0时，y有最小值10；②n为任意实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3﹣n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤r≤n＋1时，y的整数值有(2n一4)个；④若函数图象过点(a，y0)和(b，y0＋1)