第07讲 运算方法课--二次根式综合提升-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第7讲 运算方法课--二次根式综合提升 知识梳理 1、二次根式的概念：一般地，形如 的式子叫做二次根式， 叫做被开方数。 2、最简二次根式的概念 一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 3、二次根式的乘法与除法 二次根式的乘法法则： ：二次根式的除法法则： 4、分母有理化 （1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如： 与，和。 （2）分母有理化的依据是：分式的基本性质； （3）分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。 5、二次根式的加减法 二次根式加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。（二次根式的加减与整式的加减相类似。） 6、二次根式的混合运算 二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最好算加减，有括号的先算括号里面的。 多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。 01.二次根式的概念 例题精讲 例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（　　） A． x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1 【解析】由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1， 故选：D． 例2、与最简二次根式是同类二次根式，则m=　1　． 【解析】∵=2，∴m+1=2，∴m=1． 故答案为1． 例3、如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【解析】∵是最简二次根式，∴a=1，2b﹣5=1，解得：a=1，b=3， ∴==4，∴的平方根为±2． 举一反三 1. 把下列各式化为最简二次根式： （1）； （2）（a＞0，b＞0） 【解析】（1）原式==4； （2）原式===（a+2b）． 02.二次根式的化简求值 例题精讲 例1、先化简，再求值：，其中a=+1． 【解析】== =， 当时，原式==． 例2.先化简，再求值：，其中a=+1． 【解析】===， 当时，原式==． 例3、已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，求的值． 【解析】∵x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，∴x2﹣4x+4+y2﹣2y+1=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=0∴x﹣2=0或y﹣1=0， 解得x=2，y=1， ∴=====1． 例4、若x=2﹣，求（7+4）x2+（2+）x+的值． 【解析】∵x=2﹣，∴x2=7﹣4， ∴（7+4）x2+（2+）x+， =（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+， =72﹣（4）2+22﹣（）2+=49﹣48+4﹣3+=2+． 举一反三 1．已知a=，求的值． 【解答】解：∵a=，∴a﹣1＜0； ∴原式==a﹣1+， 当a=时，原式=﹣1+=． 2．已知x=2+，y=2﹣，求的值． 【解答】解：由已知，得x+y=2++2﹣=4， x﹣y=2+﹣2+=2， xy=（2+）（2﹣）=4﹣3=1， ∴原式=． 3．化简求值：﹣，其中x=2，y=3． 【解答】解：原式=﹣=， 当x=2，y=3时，原式=﹣5． 4．已知+=b+8． （1）求a的值； （2）求a2﹣b2的平方根． 【解答】解：根据题意得：， 解得：a=17； （2）b+8=0，解得：b=﹣8． 则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225， 则平方根是：±15． 直击中考 1.化简求值：（），其中a=2+． 【解析】原式=[+]•+ =•+ ==， 当a=2+时，原式=+1． 2．计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2| 【解析】﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|=2﹣1﹣1=0． 3．已知，且x为偶数，求的值． 【解析】由题意得，解得：6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8． 原式=（1+x）=（x+1）=． ∴当x=8时，原式=． 课后巩固 1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．|﹣|与 C．与 D．与 【解析】C． 2．的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【解析】C． 3．若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2 【解析】A ∵a-2≥0 ∴a≥2 4． 已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为　 　． 【答案】﹣2 5． 若m2=100，||=1，则m+=　 　． 【答案】13或﹣7 6． 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为　 　． 【答案】4 7．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0． 【解析】原式=5+3﹣1=7．