第05讲 数形思想课--反比例函数与几何综合-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第5讲 数形思想课--反比例函数与几何综合 模块一.反比例函数与全等及勾股定理 利用全等、相似将线段关系转化为坐标关系，实现“几何问题坐标化”。 01. 反比例函数与全等三角形 例题精讲 例1：如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 。 答案：y＝－ (x＜0) 解析：连接OC，过点A，C分别作x轴的垂线构造三垂直全等。 例2：(原创题)如图，点A(2，4)，B均为双曲线y＝在第一象限上的点，且∠AOB＝45°，求点B的坐标。 答案：过点A作AD⊥OA交OB延长线于点D，作AE⊥y轴于点E，DF⊥AE于点F，则 △ADF≌△QAE，∴AF＝OE＝4，DF＝AE＝2，∴D(6，2)，∴lOD：y＝x，∵A(2，4)，∴y＝，联立，得B(2，)。 02. 反比例函数与勾股定理 例题精讲 例3：如图，矩形ABCO的顶点B(10，8)，点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上的点D重合，过点E的反比例函数y＝ (k＞0)的图象与边AB交于点F，求点F的坐标。 答案：由题意知，AD＝AB＝10，AO＝8，由勾股定理可求OD＝6，则CD＝4，设CE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△DCE中，CD2＋CE2＝DE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴E(10，3)，设F(a，8)，则10×3＝8a，∴a＝，∴F(，8)。 举一反三 1.如图，A(2，3)是双曲线y＝ (x＞0)上的一点，P为x轴正半轴上一点，将点A绕点P顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，求点P的坐标。 答案：设P(t，0)，过点A作AM⊥x轴于点M，过B作BN⊥x轴于点N，则△APM≌△PBN，∴PN＝AM＝3，BN＝PM＝t－2，∴B(t＋3，t－2)，又∵点A，B在y＝上，∴(t＋3)(t－2)＝6，∴t1＝－4，t2＝3，∵t＞0，t＝3，∴P(3，0) 2.如图，直线y＝3x－ 3交坐标轴于A，B两点，将△AOB沿AB翻折得到△ACB，点D在AC的延长线上. 且CD＝ 4AC，反比例函数y＝的图象经过点D，求k的值. 解：过点B作BE//AC，交工轴于点E，则∠EBA＝∠BAC＝∠EAB，∴EA＝EB，易求OA＝1，OB＝3，设EA＝ EB＝x，则x2＝(x－1)2 ＋32，解得x＝5，由题意，AC＝AO＝ 1，∵CD＝4AC，∴AD＝ 5AC＝5，∴ AD＝ EB，∴将线段EB向右平移5个单位得线段AD，∴D(5，－ 3)，∴k＝5X(－3)＝－15. 模块二.反比例函数与图形变换 图形变换的本质是点的变换，解题的关键是根据变换规律，将变换后的关键点的坐标表示出来，再根据条件建立关系式. 03. 反比例函数与图形变换 例题精讲 【例1】平面直角坐标系中，点 A( －2，0) ，B(0，3)，点P为第二象限内一点， (1)如图，将线段AB绕点P旋转180*得线段CD，点A与点C对应，试画出图形； (2)若(1)中得到的点C，D恰好在同－ －个反比例函数y＝ R的图象上，求直线BC的解析式； (3)若点Q(m ，m)为第四象限的一点，将线段AB绕点Q顺时针旋转90°得到线段EF ，其中点A与点E对应，若点E，F恰好在同一个反比例函数的图象上，直接写出m，n之间的关系式为 。 【解析】 (1)略； (2)设P(m，n)，则C(2 ＋ 2m， 2n)，D(2m，2n－3)，∵点C，D恰好在同一个反比例函数y＝的图象上， ∴2n(2＋ 2m) ＝ 2m(2n－3)，得2n＝ － 3m，设直线BC的解析式为y＝tx＋3，将C(2 ＋2m，－3m)代入y＝tx＋3中，得(2＋2m)t＋3＝－3m，解得t＝－ ，∴y＝－ x＋3. (3)由三垂直得，E(m － n，m＋n＋2)，F(m＋3－n，n＋ m)，∴(m－n)(m＋n＋2)＝(m＋3－n)(n＋m)，整理得m＝－5n. 举一反三 1.在平面直角坐标系中，点A(a，0)为x轴上一动点，点M的坐标为(1，－1)，点N的坐标为(3，－4)，连接AM，MN，点N关于直线AM的对称点为点N'. (1)若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN'(保留作图痕迹)，直接写出点N'的坐标为 ； (2)若a＞0，连接AN，AN' ，当点A运动到∠N'AN＝90°时，点N'恰好在双曲线y＝上(如图2)，求k的值； (3)点A在x轴上运动，若∠N' MN＝90° ，此时a的值为 。