第04讲 数形思想课--反比例函数图像与性质-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第4讲 数形思想课--反比例函数图像与性质 I. 知识梳理 （一）反比例与反比例函数 1、成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。 2、反比例函数 （1）定义 （2）反比例函数解析式的特征 ① 等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. ② 比例系数 ③ 自变量的取值为一切非零实数。 ④ 函数的取值是一切非零实数。 （3）待定系数法 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）。 （二）反比例函数的图像与性质 1、图像的画法：描点法（列表、描点、连线） 2、图像特征： （1）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 （2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形。 （3）系数的几何意义：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。 （三）反比例函数与直线相交问题 1、解决直线与双曲线的交点问题时，就是将反比例函数与直线联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标； 2、判断直线与双曲线有无公共点，可用△=b2-4ac来确定； 3、交点个数可以通过△的正负判断： 1）△＞0，有两个交点； 2）△=0，只有一个交点； 3）△＜0，没有交点。 （四）用反比例函数图解不等式 1、比较反比例函数的大小 1）利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大小，也可以利用反比例函数的图形比较大小； 2）根据反比例函数的增减性可以确定反比例函数系数的符号。 2、利用函数图像解不等式 模型建立：如图，一次函数y=kx+b的图像与反比函数y=的图像相交于M,N两点。 1） 利用图中图像求反比例和一次函数的解析式； 2） 根据图像写出关于的方程y=kx+b=的解； 3） 根据图像写出关于x的不等式：kx+b＜的解集。 3、求线段的最值 1）给出x与y的取值范围，求线段最短或最长距离转换成求两点之间的距离，并结合反比例图像的对称性质计算； 2）求反比例函数外的点到反比例函数上点通过对称性质，转换到同一线段求解。 4、系数“K”的几何意义：求图形的面积或已知面积求K值 1）反比例函数上的任意一个点的面积(向x轴、y轴作垂线形成的矩形，或者与原点形成的三角形面积分别为∣k∣、； 2）技巧：求解析式或面积都必须转换成反比例函数上的点计算。 01. 反比例函数图像与性质 例题精讲 【例1】在反比例函数 的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜0＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 【解析】A.根据条件x1＜0＜x2，y1＜y2，可判断其围象位于二、四象限，∴1－8m＜0，∴m＞ 【例2】已知反比例函数 . （1）画出这个反比例的图象； （2）当－6≤x＜－2时，y的取值范围是 ； （3）当 时，x的取值范围是 . 【解析】（1）图略；（2）1≤y＜3；（3）－2＜x＜0或0＜x≤2. 【例3】如图，直线 与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为－4. （1）求k的值； （2）过原点的另一直线交双曲线于P，Q两点，点P在第二象限。若A，B，P，Q四点组成的面积为24，求P的坐标. 【解析】（1）A（－4，2），k＝－8； （2）易知四边形APBQ是平行四边形，∴S△APO ＝6，过点A作AD⊥x轴于点D，过点P作PE⊥x轴于点E，设P（a， ），则 ，∴a1＝8，a2＝－2，∵点P在第二象限，∴a＜0，∴a＝－2，∴P（－2，4）. 举一反三 1.对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( ) A.图象经过点(1，－3) B.图象在第二、四象限 C.y随x的增大而减小 D.x＜0时，y随x增大而减小 答案：D. 2.在同一平面直角坐标系内画出函数y＝kx＋1和函数y＝(k≠0)的图象大致是( ) 答案：B. 3.反比例函数y＝(a为常数)的图象上有三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是___________. 答案：y2＜y1＜y3. 4.如图，点A是反比例函数y＝(x＜0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴负半x轴上一点，△ABP的面积为1，求k的值. 答案： 连接AO，∵AB∥y轴，∴S△ABP＝S△ABO＝1，∴|k|＝1，∴k＝－2. 5.点A(a，y1)，B(2a，