第14讲 模型思想课--垂直模型中的相似-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第14讲 模型思想课--垂直模型中的相似 模块一、双垂直模型中的相似 01. 双垂直模型中的相似 例题精讲 【例1】 ⑴ 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方场内的点B， 已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离MN= 米． ⑵ 如右图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米．已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为 米． ⑶ 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度等于（ ） A． B． C． D． ⑷ 如图，正方形中，为的中点，于点，则等于（　　） A． B． C． D． A B P D C C ⑸ 如图1，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图2所示的四边形．若，，那么这个四边形的面积是_____________． 【解析】 ⑴ C；⑵ ；⑶ B；⑷ D；⑸ . 模块二、三垂直模型中相似 在中，，于， 则在这个图形中，我们可以得到个直角三角形， 这个直角三角形两两相似，即 进而可以得到组比例关系，这组比例关系中，有个比例式比较特殊： ⑴ ；⑵ ；⑶ ， 这个比例式转化为乘积式为： ⑴；⑵ ；⑶ ， 这就是著名的“射影定理” 02. 三垂直模型中的相似 例题精讲 【例1】⑴如图，在中，为直角，于点，，，写出其中的一对相 似三角形是 和 ；并写出它的面积比 ． ⑵ 如图，中，于，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ） ①； ②； ③；④； ⑤ A．1　 B．2 C．3 D．4 ⑶ 如图，是斜边上的高，如果两条直角边，则 ． 【解析】 ⑴ 答案不唯一，和，；⑵ C； ⑶ 由题意，，， 则，， 又，，，，， 则，∴． 【例2】 如图，已知中，，是边上中线，是边上的中线，且于 点，于点，若，，求的长． 【解析】连结 ∵， ∴，即， 又∵，且 则，， ∴，， ∵是边中线，是边中线， ∴， ∴，∴， 在中，， ∴，∴． 03. 三垂直模型的应用 例题精讲 【例1】 ⑴如图，梯形中，，，为上一点，且，若，， ，则= ． ⑵如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么 ． 【解析】 ⑴ 10；⑵ 4 (3) 如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是 ． 【解析】(3) ． 抓住相似模型． ， ∴ 设，，∴ 在中， ，∴ 正方形的面积为． 【例2】 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、 F. 如图，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长. 【解析】⑴ 可证△EBP∽△PCF. ∴ ． 设BP=x，则 ．解得 . ∴ PE的长为4或． 【例3】如图，在平面直角坐标系xoy中，B(0，4)，C(2，0)，点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且CD＝，∠BCD＝90°，以BC为边作□BCEF，其中点F在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点E在x轴上，求点E的横坐标． 【解析】过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．OB＝4，OC＝2，BC＝2．易证△BOC∽△CHD，∴．∴CH＝2．DH＝1．∴D(4，1)．∵点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴k＝4，y＝．y＝4代入得x＝1．∴F(1，4)，BF＝1．∴在□BCEF中，CE＝BF＝1，OE＝3．故点E的横坐标为3． 【例4】已知抛物线与x轴的交点为A（1，0），与y轴交于点C，点D为抛物线上一点，∠ACD＝60°，求点D的横坐标． 【解析】过点A作ABAC交CD的延长线于点B，过点B作BEx轴，垂足为点E，A（1，0），C（0，），则OA＝1，OC＝，易证△OAC∽△EBA．∴． ∴BE＝OA＝，AE＝，∴B（10，）．直线CB解析式为y＝．该直线与抛物线y＝，联立得：，x＝0或，∴，故D点横坐标为 课后巩固 1、如图，是一块锐角三角形余料，边mm，高mm，要把它加工成长方形零件，使长方形的边在上，其余两个顶点分别在上．求这个长方形零件面积的最大值。 【解析】 设长方形零件的边，则． ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ，解得 所以长方形的面积 当时，． （mm）． 所以这个长方形零件面积的最大值是． 2、如图，斜边上的高为