第13讲 图形思想课--相似三角形的性质、应用及位似-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第13讲 图形思想课--相似三角形的性质、应用及位似 知识梳理 （一）黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果AC＝AB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个. （二）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方. （三）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端“三点一线”. 3、利用镜子原理测量物高 借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似. （四）图形的位似 1、位似图形的定义 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2、图形位似的性质 位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 （1）位似图形对应线段的比等于相似比； （2）位似图形的对应角都相等； （3）位似图形对应点连线的交点是位似中心； （4）位似图形面积的比等于相似比的平方； （5）位似图形高、周长的比都等于相似比； （6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上。 01.黄金分割 例题精讲 例1、已知线段AB=8，点C是AB的黄金分割点，则AC= 【解析】根据黄金分割点的概念，应有两种情况， 当AC是较长线段时，AC=4×=2﹣2； 当AC是较短线段时，则AC=4﹣2+2=6﹣2． 故本题答案为：2﹣2或6﹣2． 例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由． 【解析】点E是线段AB的黄金分割点．证明（略） 02.相似三角形的性质 例题精讲 例1、两个相似三角形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个三角形的周长分别是（　　） A．8cm和12cm B．7cm和13cm C．9cm和11cm D．6cm和14cm 【解析】A． 例2、以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn=　 　． 【解析】∵正方形ABCD的边长为1， ∴AB=1，AC=， ∴AE=AO1=，则：AO2=AB=， ∴S2=，S3=，S4=， ∴作的第n个正方形的面积Sn=．故答案为：． 03.利用三角形相似测高距 例题精讲 例1、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。 【解析】过点D作DE⊥AB于E， 根据题题意得：四边形BCDE是矩形， ∴BE=CD=1.8m， ∴ 解得：AE=4， ∴AB=AE+BE=4+1.8=5.8（m），树高AB为5.8m． 例2、如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度． 【解析】由题意可得：△DEF∽△DCA，则=， ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m， ∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），旗杆的高度为11.5m． 例3、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． 【解析】∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，∴∠BEA=∠DEC ∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴； ∵CE=2.5米，DC=1.6米，∴； ∴AB=12.8