第12讲 图形思想课--相似三角形的判定-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第12讲 图形思想课--相似三角形的判定 知识梳理 （一）相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 1、相似三角形是相似多边形中的一种； 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； 3、相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； 4、相似用“∽”表示，读作“相似于”； 5、相似三角形的对应边之比叫做相似比，书写对应边的比时，一定要找准对应边。 （二）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （三）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC （2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 下图为常见的基本图形． 4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 5、斜交型： 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） 01.三角形相似判定方法的运用 例题精讲 例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【解析】C △ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，所以有三对相似三角形． 例2、如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．= 【解析】 D． 根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 例3、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC． （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF； （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形． 【解析】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF； （2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形． 例4、如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD． （1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数． 【解析】（1）（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值， 从而可得到AD2与AC•CD的关系； （2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即． 又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A． ∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC． 设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x． ∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°． 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用． 02.网格图中相似三角形的判定 例题精讲 例1、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【解析】B. 此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用． 例2、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说