第11讲 图形思想课--图形的相似-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第11讲 图形思想课--图形的相似 知识梳理 （一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质 （二）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有： = ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （三）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 　　　　　　　　　 （四）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （五）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC （2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 下图为常见的基本图形． 4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 5、斜交型： 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） （六）黄金分割 （七）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方. （八）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高 （九）图形的位似 1、位似图形的定义 2、图形位似的性质 01.成比例线段与平行线分线段成比例 例题精讲 例1、已知， （1）求的值； （2）如果，求x的值． 【解析】（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k， ∴===﹣1； （2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z， ∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3（舍去），∴x=﹣2． 例2、如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=． 【解析】∵AC∥BD，EF∥BD，∴，， ∴==1，∴+=． 02.三角形相似的条件 例题精讲 例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】有三对相似三角形，Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF， Rt△EBF∽Rt△DEF．理由如下： 设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a， 在Rt△BCF中，BF==5a， 在Rt△ABE中，BE==2a， 在Rt△DEF中，EF==a， ∵BE2+EF2=BF2，∴△BEF为直角三角形，∠BEF=90°， ∵==2，==2， ∴=， ∴Rt△ABE∽Rt△DEF，同理得=， ∴Rt△ABE∽Rt△EBF， ∴Rt△EBF∽Rt△DEF． 故选：C． 例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由． 【解析】设AP=2tcm，DQ=tcm，∵AB=12cm，AD=6cm，∴AQ=（6﹣t）cm， ∵∠A=∠A， ∴①当 =时，△APQ∽△ABD， ∴=