第10讲 数形思想课--二次函数的图像与性质（二）-【暑假特训课程】2022年八升九数学核心考点精讲精练（苏科版）

第10讲 数形思想课--二次函数的图像与性质（二） 模块一、化一般式为顶点式的方法技巧 1.熟练掌握顶点坐标公式（），，分清a，b，c的值（包括符号）. 2.掌握配方法的步骤，切记不要改变a的大小. 01.用配方法化为顶点式 例题精讲 【例1】已知二次函数. （1）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？ （2）该函数图像经过怎样的平移得到抛物线？ （3）求出函数的最大值或最小值？ 【解析】（1）∵，∴对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大;当x＜1时，y随x的增大而减小. （2）该函数图像向左平移1个单位，向上平移个单位得到抛物线. （3）∵a＞0，∴函数有最小值. 02.用公式法求顶点坐标 例题精讲 【例2】将二次函数的解析式化为顶点式，并指出开口方向，对称轴和最值. 【解析】利用顶点坐标公式可求顶点（－3,11） ∴解析式为，其图像开口向下，对称轴为直线x＝－3,最大值为11. 举一反三 1.二次函数； （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）该函数图像是将的图像经过怎样的平移得到的？ 解（1）,顶点坐标为（） （2）当x＞时，y随x的增大而减小;当x＜1时，y随x的增大而增大. （3）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图像. 2.已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，求mn的最大值. 解：∵是二次函数，∴m≠2，对称轴为，当m＞2时，开口向上，，即2m＋n，∴mnm(12－2m)＝－2(m－3)2＋18,当0m＜2时，抛物线开口向下，，即m＋2n18,n＞8, mnn(12－2n)＝－2(n－)2＋＜18，综上所述，mn的最大值为18. 模块二、二次函数的识图方法技巧 a的符号与开口方向有关，b的符号与对称轴有关（左同右异），c的符号与y轴的交点有关. 01.判断a，b，c的符号 例题精讲 【例1】二次函数的图像如图所示，试判断a,b,c,2a＋b,a＋b＋c,a－b＋c的符号. 【解析】开口向上，a＞0；对称轴＞0，b＜0；与y轴的交点在y轴的负半轴，c＜0;由图像知，＜1，∴－b＜2a，2a＋b＞0，当x＝1时，函数值a＋b＋c＜0；当x＝－1时，函数值a－b＋c＞0. 02.由特殊点判断相关代数式的值或符号 例题精讲 【例2】如图，抛物线经过点（－1,0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中正确的结论是（ ） A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 【解析】a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0,①不正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0,②正确；当x＝2时，4a＋2b＋c＜0,将b＝a＋c代入，可得2a＋c＜0，③正确；同理④正确。选D. 【归纳】消元时，常常需要利用特殊点找到一个等式，即等式与不等式的组合运用. 举一反三 1. 二次函数的图像如图所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中正确结论是（ ） A. ③④ B.②③ C.①④ D.①②③ 答案：C 2. 二次函数的图像经过点（－1,2），且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1,下列结论：①4a－2b＋c＜0；②2a－b＜0；③a＋c＜1；④b2＋8a＞4ac.其中正确的结论有（ ）个 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 模块三、用待定系数法求二次函数的解析式方法技巧 根据条件，选择适当的解析式，建立关于待定系数的方程（组），解方程（组）求出待定系数的值. 01.一般式 例题精讲 【例1】已知二次函数的图像经过点A（－1,2），B（0,1），C（2，－7），求该二次函数的解析式. 【解析】 02.顶点式 例题精讲 【例2】已知二次函数的最大值为1，其图像经过点（3，－1），求二次函数的解析式. 【解析】 03.交点式 例题精讲 【例3】如图，抛物线经过A、B、C三点，点A（－1,0），点B（3,0），且3AB＝4OC，求抛物线的解析式. 【解析】 04.综合运用求解析式 例题精讲 【例4】已知二次函数的图像与坐标轴只有两个公共点，求二次函数的解析式. 【解析】或 【例5】如图，直线y＝－x＋1与抛物线交x轴于点A和另一点D，抛物线与y轴交于点C，且CD∥x轴，求抛物线的解析式. 【解析】 举一反三 1.已知二次函数的图像与x轴交于A（－3,0），B（4,0）两点，且函数的最大值为2，求二次函数的解析式. 答案： 2.如图，抛物线与坐标轴交于A,B,C三点，且OA＝2，OC＝3，求抛物线的解析式. 答案： 3. 已知抛物线经过点A（