第05讲 基本不等式-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

第5讲 不等式的基本性质与基本不等式 【知识梳理】 1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系. 2.a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 3.不等式的性质 4.∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得，当且仅当a＝b时等号成立.通常称此不等式为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 5.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 6.基本不等式与最大(小)值　口诀：和定积最大，积定和最小 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. 4.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具. 【典型例题】 考点一：不等式的性质 1. 如果，那么（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 举例判断A，B，D错误，再证明C正确. 【详解】 由已知可取，则 ，A错， ，B错， ，，D错， 因为，所以 所以，故，C对， 故选：C. 2. 若，则下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 【答案】C 【解析】 【分析】 对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断 【详解】 对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误， 故选：C 3. 已知，则下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据不等式的性质判断各选项． 【详解】 当时，如，时成立，A错； 若则一定有，所以时，一定有，B正确； ，但，C错； ，则，D正确． 故选：BD． 考点二：取值范围 4. 已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质即可求解. 【详解】 解：因为，， 所以，， 所以， 所以的取值范围是， 故选：D. 5. 设，，求，，的范围. 【答案】，， 【解析】 【分析】 根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可. 【详解】 ∵，， ∴，，，， ∴，， ∴. 故，，． 考点三：不等式比较大小及证明 6. 已知，，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】 作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案. 【详解】 ， 因为，所以， 又，所以，即. 故选：B 7. 若，，则与的大小关系为（       ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 利用作差法判断大小即可 【详解】 因为 ， 所以， 故选：B 8. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求差法进行大小比较即可； （2）求差法去证明即可解决. 【详解】 （1）由， 可得． （2）， ∵，∴，，， ∴，∴． 9. 已知a，b，c，d都是正数，且，，求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 利用作差法证明即可. 【详解】 因为a，b，c，d都是正数，，， 所以， 所以. 考点四：基本不等式证明 10. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段______的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________. 【答案】     ##     【解析】 【分析】 根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用a，b表示出相关线段长即可作答. 【详解】 依题意，，，由直角三角形射影定理得，即， 而点C与点O不重合，在中，即，则， 在中，因，，由直角三角形射影定理得， ，又，则，即， 所以线段的长度是、的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系