1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

证明 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课程标准 课标解读 1. 理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. 2. 会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题. 1. 通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量. 2. 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明. 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示式 设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使＝＋ta. (3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t. 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． (3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 2．空间平面的向量表示式 ①如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. ②如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． ③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行． 易错辨析： （1）空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？能 （2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定． （3）由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点？能 【即学即练1】【多选】若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) 【解析】∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)，故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量． 故选AB 【即学即练2】已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C. D．3 【解析】∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，∴＝(－1,2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ，故设＝km.∴解得 ∴y－z＝0.故选A 【即学即练3】已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ） A． B． C． D． 【解析】设平面的法向量为，则有取，则. 所以．因为，所以平面的一个单位法向量可以是.故选：B 【即学即练4】在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（ ） A． B． C．5 D．7 【解析】，.;. 可得，，故选：D 【即学即练5】若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 【解析】B 【即学即练6】下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①若分别是平面α，β的法向量，则⇔α∥β； ②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔； ③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确.故选：C 知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向