1.2空间向量基本定理 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 课程标准 课标解读 1. 理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义.. 2. 理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量. 3. 会用相关的定理解决简单的空间几何问题. 1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量. 2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题. 知识点1 空间向量基本定理 1．定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点： ①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同． ②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． ③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． （2）空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z. 推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置． 2．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解． 易错辨析： （1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以． （2）在四棱锥O­ABCD中，可表示为＝x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？对． 【即学即练1】下列说法正确的是（       ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 【即学即练2】设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即学即练3】已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b　　　　　 B．2b，b－2a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c 【即学即练4】【多选】设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 【即学即练5】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．用向量a，b，c表示，； 知识点2 证明平行、共面问题 1. 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题． 【即学即练6】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. 求证：A，E，C1，F四点共面． 知识点3 夹角、垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 注：区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围． 【即学即练7】在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． 知识点4 距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【即学即练8】已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求； (2)求． 考点一 空间向量基本定理的理解 解题方略： 判断基底的方法 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判