拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

拓展一：利用空间向量计算空间中距离的四种类型 空间距离包括空间中点到点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线之间的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离.有些空间距离问题较为复杂，仅根据立体几何中的公式、定理、性质，很难快速求得空间距离.此时，我们可根据立体几何图形的结构特点，建立空间直角坐标系，分别求得各个点的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空间距离. 知识点1 空间中距离的定义及分类 1、定义 （1）点到点的距离，是指两点之间线段的长度. （2）点到直线的距离，是指点与直线之间垂线段的长度. （3）两条平行直线之间的距离，是指其中一条直线上任意一点与另一直线之间垂线段的长度. （4）点到平面的距离，是指点与平面之间垂线段的长度. （5）相互平行的直线与平面之间的距离，是指直线上任意一点与平面之间垂线段的长度. （6）两个平行平面之间的距离，是指其中一个平面上任意一点与另一平面之间垂线段的长度. （7）异面直线之间的距离，是指两条异面直线之间公垂线段的长度. 注：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;②公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;③两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离. ④公垂线段是异面直线上任意两点的最小距离 2、分类情况 （1）点到点的距离; （2）点到直线的距离，包括点到直线的距离、两条平行直线之间的距离; （3）点到平面的距离，包括点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及两个平行平面之间的距离; （4）异面直线之间的距离. 知识点2 利用空间向量计算空间中距离的四种类型及方法 （1）点到点的距离 方法：由已知两点分别作为起点和终点得出向量，计算该向量的模，即为点到点的距离 具体步骤：①确定点A为起点，点B为终点，得出向量； ②计算； ③距离 （2）点到直线的距离 方法1：过点P向直线作垂线，垂足为点Q，计算即为点P到直线的距离 具体步骤：①在直线上作点Q，使得；②作出；③计算；④距离 方法2：作直线上的一个方向向量，计算在方向向量上的投影，在通过勾股定理计算出的长度，即为点到直线的距离 具体步骤：①在直线上取定两点A，B，得出向量，； ②计算在上的投影；③利用勾股定理计算；④距离 （3） 点到平面的距离 方法：如图，在平面内取点A得出向量，计算平面的一个法向量，再计算在上的投影的绝对值，即为点到平面的距离 具体步骤：①在平面内取点A的出向量；②利用平面内两条相交直线的方向向量，计算出平面的一个法向量；③计算在上的投影；④ （4） 异面直线之间的距离 如图，设是异面直线，是的公垂线段的方向向量，又分别是上的任意两点，则在上投影的绝对值即为之间的距离. 具体步骤：①在直线上取点A，C，在直线上取点B，D；②通过和计算公垂线段的方向向量；③计算在上的投影；④ 注：在立体几何中，求点到平面的距离、异面直线的距离、直线到平面的距离（此时直线与平面不相交）、两个平行平面的距离有一个统一的公式，其中两点A，B分别在两个图形上，指平面的一个法向量（求两条异面直线的距离时，与这两条异面直线的方向向量均垂直）. 考点一 点到点的距离 【例1-1】如图，正方体的棱长为1，M是棱的中点，O是的中点．求证：OM分别与异面直线，垂直，并求OM的长． 【解析】 如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以 . 【例1-2】如图，正方体的棱长等于4，点是棱的中点． (1)求直线与直线所成的角余弦值； (2)若底面上的点满足平面，求线段的长度． 【解析】(1)如图以D为坐标原点，以为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设直线与直线所成的角为， 则, (2)假设在底面上存在点，使得平面，设， 因为， 所以， 由得，， 即 ，解得，即， 所以，， 故线段的长度为. 考点二 点到直线的距离 【例2-1】在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________． 【解析】依题意得， 则到直线的距离为 故答案为： 变式1：已知在正方体中，棱长为2，E为的中点.则点到直线的距离为____. 【解析】如图，建立空间直角坐标系， 则，故， ， ， 点到直线的距离为. 故答案为： 变式2：如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，E为的中点. （1）求异面直线与间的夹角的余弦值： （2）在侧面找一点N，找平面，并求出到的距离. 【解析】（1）分别以A为原点，，，为x､y､z建立空间直角坐标系. 可得，，，， 从而，，设与的夹角为，有： 所以异面直线与间的夹角的余弦值为 （2）由于N点在面中，故设其坐标为. 则.由面得： 或，解得，即 所以，令与得夹角为. 则， 因此N到的距离 变式3：如图所示，边长为2的正方形和高