拓展五：空间向量与立体几何大题专项训练（32道） -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

拓展五：空间向量与立体几何大题专项训练（32道） 类型一 异面直线所成的角（2道） 1、（2022·湖南岳阳·高二期末）如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，； (1)求证：直线面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解题思路】（1）证明平行四边形得线线平行，进而根据线面平行的判定定理即可证明.（2）根据空间直角坐标系根据向量的夹角求线线角. 【解题过程】(1)证明：取的中点P，连 因为分别为的中点，所以 且，又在直三棱柱中， 且，所以且 . 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面平面， 所以直线平面； (2)解：在直三棱柱中平面，所以，又侧面侧面，平面平面，所以平面，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，所以； 所以． 所以异面直线MC1与BN所成角的余弦值为． 2、（2022·江苏省如皋中学高二期末）如图，直三棱柱中，，，是棱的中点， (1)求异面直线所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 【解题思路】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出,利用向量的夹角公式求得答案; (2)求出平面平面和平面的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案. 【解题过程】(1)以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系, 则, , 所以， 所以直线所成角的余弦值为； (2)设为平面的一个法向量， , 则 ， ， 同理, 则, 可取平面的一个法向量为， 则, 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为 . 类型二 直线与平面的夹角（5道） 3、（2022·广东·高二期末）四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面． (1)求证：； (2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值． 【解题思路】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【解题过程】(1)证明：因为，，， 由余弦定理， 所以，则，所以，即， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面，又平面，所以； (2)解：如图建立空间直角坐标系，则、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，令，则， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为； 4、（2022·云南玉溪·高二期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【解题思路】（1）由线面平行的判定定理求解即可； （2）建立坐标系，用向量法求解即可 【解题过程】(1)取的中点，连接，， 在△中，，且， 又，， 所以，且. 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)取的中点为，连接，则. 又平面平面，则平面. 建立如图空间直角坐标系.由已知得 ，，，，. 所以，，. 设是平面的法向量，则 即，令，则 设直线与平面所成的角为. 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5、（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期末）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，，直线PA与底面ABCD成角，点M，N分别是PA，PB的中点. (1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； (2)求二面角的大小的余弦值. 【解题思路】（1）以为原点，向量､､的方向为､､轴的正方向，建立坐标系，设，设面的法向量为，直线与面所成的角为，求出法向量和，再代入公式计算； （2）由（1）知面的法向量为，设面的法向量为，求出再代入公式计算； 【解题过程】(1)以为原点，向量､､的方向为､､轴的正方向，建立坐标系， 设，则， ∵底面，∴为直线与平面所成的角， ∴，∴， ∴，，，，，，， ，，设面的法向量为， 直线与面所成的角为， 则且， 取，则，，∴，∴. (2)由（1）知面的法向量为，设面的法向量为， ∵，，， ∴且， 取，则，，则， ∴， 又∵，， ∴二面角的大小的余弦值为. 6、（2022·江苏宿迁·高二期末）在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值． 【解题分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得； 【解题过程】(1)解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为，则 (2)解：依题意可得，则， 设平面的法向量为，所以，令，则， 则，显然二面角的锐二面角， 所以二面角的余弦值为； 7、（2022·湖北咸宁·高二期末）如图，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点.将沿DM翻折至，连接PC，PB．